最大權閉合圖

以下內容參考胡伯濤《最小割模型在信息學競賽中的應用》，感謝他為我們提供這么優秀的論文。

看不懂以上論文的同學，可以試試看一下以下內容，本文無大量的數學符號，方便閱讀理解。

這道題中，實驗依賴於儀器，而實驗和儀器都有權值，且儀器為負，實驗為正。

這里閉合圖的概念就很好引出了。在一個圖中，我們選取一些點構成集合，記為V，且集合中的出邊(即集合中的點的向外連出的弧)，所指向的終點(弧頭)也在V中，則我們稱V為閉合圖。最大權閉合圖即在所有閉合圖中，集合中點的權值之和最大的V，我們稱V為最大權閉合圖。

上圖中閉合圖有

{5}、{2,5}、{4,5}

{2,4,5}、{3,4,5}

{1,2,3,4,5}、{1,2,4,5}

最大權閉合圖為{3,4,5}。

針對本題而言，我們將實驗與儀器間連一條有向邊，實驗為起點(弧尾)，儀器為終點(弧頭)。則如果我們選擇一個閉合圖，那么這個閉合圖中包含的實驗所需要的儀器也最這個閉合圖里。而最大權閉合圖即為題目的解。

了解了最大權閉合圖的概念，接下來我們就需要知道如何求最大權閉合圖。

首先我們將其轉化為一個網絡(現在不要問為什么,接下來會證明用網絡可以求解)。構造一個源點S，匯點T。我們將S與所有權值為正的點連一條容量為其權值的邊，將所有權值為負的點與T連一條容量為其權值的絕對值的邊，原來的邊將其容量定為正無窮。

上圖即被轉化為如左圖網絡。

首先引入結論，最小割所產生的兩個集合中，其源點S所在集合(除去S)為最大權閉合圖，接下來我們來說明一些結論。

引入一下簡單割的概念：割集的每條邊都與S或T關聯。(請下面閱讀時一定分清最小割與簡單割，容易混淆)

那么為什么最小割是簡單割呢？因為除S和T之外的點間的邊的容量是正無窮，最小割的容量不可能為正無窮。所以，得證。

證明閉合圖是簡單割：如果閉合圖不是簡單割(反證法)。那么說明有一條邊是容量為正無窮的邊，則說明閉合圖中有一條出邊的終點不在閉合圖中，矛盾。

證明簡單割是閉合圖：因為簡單割不含正無窮的邊，所以不含有連向另一個集合(除T)的點，所以其出邊的終點都在簡單割中，滿足閉合圖定義。得正。

首先我們記一個簡單割的容量為C,且S所在集合為N，T所在集合為M。

則C=M中所有權值為正的點的權值(即S與M中點相連的邊的容量)+N中所有權值為負的點權值的絕對值(即N中點與T中點相連邊的容量)。記(C=x1+y1);(很好理解，不理解畫一個圖或想象一下就明白了)。

我們記N這個閉合圖的權值和為W。

則W=N中權值為正的點的權值-N中權值為負的點的權值的絕對值。記(W=x2-y2);

則W+C=x1+y1+x2-y2。

因為明顯y1=y2，所以W+C=x1+x2;

x1為M中所有權值為正的點的權值，x2為N中權值為正的點的權值。

所以x1+x2=所有權值為正的點的權值之和(記為TOT).

所以我們得到W+C=TOT.整理一下W=TOT-C.

到這里我們就得到了閉合圖的權值與簡單割的容量的關系。

因為TOT為定值，所以我們欲使W最大，即C最小，即此時這個簡單割為最小割，此時閉合圖為其源點S所在集合(除去S)。得正。

至此，我們就將最大權閉合圖問題轉化為了求最小割的問題。求最小割用最小割容量=最大流，即可將問題轉化為求最大流的問題。

[網絡流]最大權閉合圖（轉載）來自: http://hi.baidu.com/%C6%AE%BB%A8%C4%EA%B4%FA/blog/item/45d4bb1765e7044721a4e960.html