塞瓦定理
如图 $\frac{AB}{BC}\cdot \frac{CD}{DE}\cdot \frac{EF}{FA}=1$ 当且仅当 $AD,CF,EB$ 三线共点
证明略(面积法)
梅涅劳斯定理
(开局一个三角形,一条直线,装备全靠捡)
梅涅劳斯定理因直线与三角形的位置关系不同而变化
如图一 $\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CF}{FA}=1$ 当且仅当 $D,E,F$ 三点共线
如图二 $\frac{AD}{DB}\cdot \frac{BF}{FC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$ 当且仅当 $D,E,F$ 三点共线
证明略(与塞瓦类似)
这6条边在式中的顺序难记,怎么办?
从三角形的一个顶点出发,按顺序遍历 $[$ 顶点为三角形的顶点,交点为当前遍历到的三角形的边(的延长线)与直线的交点 $]$ :
顶点 $\rightarrow$ 交点 $\rightarrow$ 顶点 $\rightarrow$ 交点 $\rightarrow$ 顶点 $\rightarrow$ 交点 $\rightarrow$ 最初的顶点
经过的边分别记作 $a,b,c,d,e,f$
则公式为 $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\cdot \frac{e}{f}=1$
举个例子:
梅涅劳斯定理例题(蒙日定理):
平面上有三个圆,每一对圆的外公切线交于一点,则三个交点共线
首先提取出两个圆
易知
$\because \triangle ACO\sim \triangle BDO$
$\therefore \frac{AO}{BO}=\frac{AC}{BD}$ (即半径之比)
转回原图:
$\because \frac{AF}{CF}=\frac{a}{c},\frac{BD}{AD}=\frac{b}{a},\frac{CE}{BE}=\frac{c}{b}$
$\therefore \frac{AF}{CF}\cdot \frac{BD}{AD}\cdot \frac{CE}{BE}=1$
$\therefore D,E,F$共线(梅涅劳斯定理)
summary
塞瓦定理多用于证三线共点
梅涅劳斯定理多用于证三点共线