對有序表進行查找運算的時候，可以通過縮減問題的規模，大幅度提高查找效率。
首節點 5 的位置為0，尾結點 為 199 的地址為 11；
求和折半后（ （11+1）/ 2 ）計算出中間位置的地址為 5；
與 位置5 上的元素 43 比較，21 小於 43，因此 21 只能出現在左半段；
縮小查找范圍，舍棄右半段；
重復折半查找的過程：
計算出中間位置為2 （此處2，指的是下標為2的位置），與 位置2 的 元素12 相比較，21>12。因此 21 只能出現在右半段，舍棄左半段。
現在查找段的首結點地址為3，尾結點地址為4，
求和折半后，計算出中間位置的地址為 3，與 位置3 上的 元素21 比較，恰好等於待查找元素21，查找成功！
核心思想：① 計算中值位置；② 縮小查找區間。
left 表示起點，right 表示終點，mid 表示中值點，數組 a 存放元素，x 為待查找元素
| left | 表示起點 |
| right | 表示終點 |
| mid | 表示中值點 |
| 數組 a[] | 存放元素 |
| x | 待查找元素 |
三條語句：
① 計算中值點：mid = (left + right) / 2
② 若 x = a[mid]，查找成功，返回mid，結束；
2.1 若 x < a[mid]，則往左縮小查找區間，重復上述過程；
2.2 若 x > a[mid]，則往右縮小查找區間，重復上述過程。
代碼：
int binary_search(int a[]，int x，int left，int right){
int mid；
mid = （ left + right ）/ 2；// 計算中值點
if（ x == a[mid] ）// 若 x = a[mid]，查找成功，返回mid
return mid；
if（x < a[mid] ）
return binary_search（a，x，left，mid - 1）；// 問題的規模縮小了，但是問題的性質沒變化，可以采用遞歸的方式，只是查找區間變為了 left ~ mid - 1 階段。
else
return binary_search（a，x，mid + 1，right）；
}
例題：用二分法查找元素 83
| 下標 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 元素 | 5 | 8 | 12 | 21 | 29 | 43 | 52 | 64 | 70 | 81 | 87 | 199 |
| left | mid | right |
① left = 0，right = 11；
② 計算中值點：mid = （0+11）/ 2；
③ 第一次比較結果：x > a[5] （83 > 43），因此去掉左半段，修改 left 的值 left = mid + 1 = 6，變成如下：
| 下標 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 元素 | 52 | 64 | 70 | 81 | 87 | 199 |
| left = mid + 1 = 6 | right |
開始第二次比較：
① left = 6，right = 11；
② 計算中值點：mid =（6 + 11）/ 2 = 8；
③ 第二次比較結果：x > a[8]（83 > 70），因此去掉左半段，修改 left 值，left = mid + 1 = 9，變成如下：
| 下標 | 9 | 10 | 11 |
| 元素 | 81 | 87 | 199 |
| left = mid + 1 = 9 | right |
開始第三次比較：
① left = 9，right = 11；
② 計算中值點：mid =（9+11）/ 2 = 10；
③ 第三次比較結果：x < a[10]（83 < 87），因此去掉右半段，修改 rigth 值，right = mid - 1 = 9，變成如下：
| 下標 | 9 | 10 | 11 |
| 元素 | 81 | 87 | 199 |
| right = mid - 1 = 9 | mid | right |
| 下標 | 9 |
| 元素 | 81 |
| right = mid - 1 = 9； left = 9； |
開始第四次比較：
① left = 9，right = 9；
② 計算中值點：mid =（9+9）/ 2 = 9；
③ 第四次比較結果：x > a[9]（83 > 81），因此修改 left 值，left = mid + 1 = 10，當 left > right 時，查找段已經不復存在，換言之，查找失敗。
二分查找算法----代碼部分：
① 第一種寫法
int binary_search（int a[]，int x，int left，int right）{
int mid；
if（left > right） return -1；// 查找失敗，返回 -1
mid =（left + right）/ 2；
if（ x == a[mid] ）
return mid；// 查找到，返回
if（ x < a[mid] ）
return binary_search（a，x，left，mid - 1）；// 左端查找
return binary_searc（a，x，mid + 1，right）；// 右端查找
}
② 第二種寫法
int binary_search（int a[]，int n，int x）{
int left，right，mid；
left = 0；right = n-1；// 確定查找段的 起點 和 終點
while（left <= right）{
mid = （left + right）/ 2；
if（x == a[mid]）return mid；// 查找到，返回
if（x < a[mid]）
right = mid - 1；// 左端查找
else
left = mid + 1； // 右端查找
}
return -1；
}
關於上述兩種算法：
第 ① 種：使用遞歸，代碼更簡潔清晰，可讀性更好。但由於遞歸需要系統堆棧，所以空間消耗要比非遞歸
代碼大很多。而且，如果遞歸深度太大，系統可能撐不住。
第 ② 種：速度快，結構簡單，但可讀性略遜一籌。
二分查找算法的核心思想是 “分而治之” ：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的，性質相同的子問題，以便各個擊破，分而治之。
二分查找算法有兩個前提：① 順序存儲；② 有序表。
二分查找法性能分析：
此處借助 “判定樹” 簡要分析一下算法的時間復雜度：
① 以有序數組 a[6] 為例，執行二分算法時
② 首先比較的是下標為 2 的元素 24，mid = （5+0）/ 2 = 2 // 注意，此處的 2 ，是下標！
③ 如果查找元素為 24，查找成功！
④ 如果比 24 小，那么再計算出來的 mid 值為 0，mid =（第②步里的 mid - 1）/ 2 =（2-1）/ 2 = 0
關於此處mid：開始時 mid =（5+0）/ 2 = 2 ，由於是 lift 和 right 都是 int 型，因此計算結果如例所示：
9/2 = 4；7/2 = 3；11/2 = 5；
⑤ 如果查找元素比 14 大，那么再計算出的 mid 值就是 1。// 舍棄 mid 與 mid 左側段落，然后mid + 1 = 1
成功的查找：查找路徑終結於結點 i，查找長度 = 結點 i 的層數
判定樹中，24 需要一次比較，14和53 需要兩次比較，17和43和76 需要三次比較，因此查找這個六個結點的平均查找長度為 =（1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3）/ 6 = 14/6，括號里的數字，可以這樣理解：
① 假如我們尋找的元素是 24 ，那么開始時，僅尋找一個，就能找到它，因此查找長度為1；
② 假如我們尋找的元素是 14 ，那么開始時，需要途徑兩個元素（包括被尋找元素本身），因此長度為2；
又因為第二層，有兩個元素，也就是 “14” 和 “53”，所以查找長度就是 2 + 2
③ 第三層同理
不成功的查找：
上圖中用方框表示的結點，就是外結點。查找長度 = 外結點 i 之父的層數；
下面 x 對應的是待查找的元素
圖中 0 灰色方片，對應 x < a[0] // 假如 x < 14 ，這個不等式可以表達為 x < a[0]
圖中 1 灰色方片，對應 a[0] < x < a[1] // 假如 14< x < 17，這個不等式可以 表達為 a[0] < x < a[1]
圖中 2 灰色方片，對應 a[1] < x < a[2] // 同上
圖中 5 灰色方片，對應 a[4] < x < a[5] // 同上
圖中 6 灰色方片，對應 x > a[5] // 同上
查找不成功的平均查找長度 =（2+3+3+3+3+3+3）/ 7 = 20 / 7
2： 24 → 14 → 方片0，所以兩次 // 這是 x < 14 的情況；
3： 24 → 14 → 17 → 方片1，所以三次 // 這是 14< x < 17 的情況；
3： 24 → 14 → 17 → 方片2，所以三次 // 這是 17< x < 24 的情況；
3： 24 → 53 → 43 → 方片3，所以三次 // 這是 24< x < 43 的情況；
3： 24 → 53 → 43 → 方片4，所以三次 // 這是 43< x < 53 的情況；
3： 24 → 53 → 76 → 方片5，所以三次 // 這是 53< x < 76 的情況；
3： 24 → 53 → 76 → 方片6，所以三次 // 這是 x > 76 的情況。
因為 查找了 7 次，所以 查找總數 / 7 = 查找不成功的平均查找長度
