向量是由在各個維度上的向量相加得來的，
| 笛卡爾坐標系是由向量 1 和向量 0 張成的空間。 這兩個向量也叫標准基。 0 1 |
| 2 2 0 2 這個向量是由 0 和 2 兩個標准基方向上的向量相加得到的 每個標准基長度看成是1，這兩個向量都有2個標准基的長度 |
| 2 3 2+3 3 和 2 兩個2維向量相加就是分別將兩個維度上的向量相加，其實就是講兩個向量在各個維度上的標准基的個數相加 3+2 |
同理，一個3維向量（x,y,z）是由i軸上的向量（x,0,0）加 j軸上的向量(0,y,0) 加k軸上的向量(0,0,z)得到的。
所以兩個3維向量相加就是這兩個三維向量在三個軸上的分量分別相加，得到在三個維度上向量，然后再將這三個向量相加。
矩陣A左乘向量v就是在矩陣A中各個向量張成的空間里找到一個向量跟v相對應。例如在2維空間中，v在x軸方向有3個標准基，在y方向有2個標准基，那邊在矩陣A中各向量張成的空間里就有這樣一個向量w跟v想對應，向量w在第一個向量方向上有3個向量一長度（3個基）分量w1，在第二個向量方向上有2個向量二的長度（2個基）的分量w2，w1和w2相加后就是這個向量w。Av就是把v轉換為w。
三維空間里矩陣A=|v1,v2,v3| 向量v Av就等於v1,v2,v3三個向量張成的空間中跟v對應的向量w，如v為(a,b,c),那么w就是由v1向量方向上長度為a|v1|（a個基），v2向量方向上長度為b|v2|（b個基）,v3向量方向上長度為c|v3|（c個基）的三個向量相加得來，即w=av1+bv2+cv3