向量空間

1. 向量空間

向量空間表示一整個空間的向量，但不是任意向量的集合都能被稱為向量空間。向量空間必須滿足一定規則：該空間對空間內向量的線性組合（相加，數乘）封閉。也就是說如果一個向量集合所組成的空間滿足兩種操作（數乘、相加）且通過這兩種操作及他們之間的線性組合后的向量仍然在這個集合所形成的空間中。那么我們就稱它為向量空間。比如：v，w為向量空間內的向量，則向量3v 或 v+w 都仍然在此空間中，那么這個空間可稱為向量空間。

比如 (所有的二維實向量)就是一個向量空間： ， ，  均在R^2向量空間中，對這3個2維向量進行線性組合，得到的向量仍在 向量空間中。反映在圖像上：

很明顯， 的向量空間可以構成一個平面。這個向量空間存在的關鍵在於上圖中平面上任何向量都在 的向量空間中。尤其是0向量，它存在於所有向量空間中。

同樣，可以通過到三維向量空間，n 維向量空間 上。再舉兩個不是向量空間的例子：

在上面圖中，我們可以看到當我們嘗試用-1和其中某個向量（除零向量）相乘時，其所得的向量一定不在第一象限中。可見，不滿足數乘運算。所以，不是向量空間。

 

上圖中是 中不含有0向量，那么當我們取一個向量和一個向量的反向向量相加時 所得到的零向量也不在其內部，可見，不滿足相加運算，故其也不是向量空間

2. 子空間（subspace）

對於子空間，一個很好的解釋屬於向量空間的一部分，但是它同樣滿足向量空間的規則，也是一個向量空間。例如在  中的一條過原點的直線即為  的子空間。如圖：

 

 

下面讓我們去列舉下在 (二維向量空間)和 (三維向量空間)中的所有的子空間。

中的子空間有：

• 本身
• 任何一條過原點（0,0）的直線（它就像 一樣，卻不同於）
• 零向量

R^ 3中的子空間有：

• 本身
• 任何一個過原點（0,0,0）的平面
• 任何一條過原點（0,0,0）的直線
• 零向量

 中的二維子空間和一維子空間的示意圖如下所示：

 

 注意：子空間必須包含原點（零向量）

3. 矩陣的列空間（column space）

列空間是由一個矩陣的列向量所構造的子空間，下面我們給出一個矩陣A：

 

 那么矩陣的兩個列向量  以及它們的線性組合構成了 的子空間，我們稱之為列空間。 記為C(A)。

因為不在同一條直線上，所以這個列空間表現在圖像上就是一個過原點與這兩個列向量的平面。也就是說A的列空間是三維空間中的一個平面。

 

 這里還要注意，如果矩陣的列向量兩兩之間是共線的，其列空間就是一條過原點的直線。

 

作者：August
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