第四章 向量空間

4.1 向量空間的定義和例子

定義 4.1.1

定義 \(V\) 是 \(\mathbb F\) 上一個 向量空間、線性空間 ，此時 \(V\) 中元素稱為 向量，然后定義 零向量、負向量 。（在上面定義了 加法、數乘 ）

例 4.1.2

• \(\mathbb F^n, M_{m,n}(\mathbb F), \mathrm{Hom}_{\mathbb F}(\mathbb F^n, \mathbb F^m)\) 是向量空間
• \(\mathbb F\) 是向量空間，若 \(\mathbb K\) 也是數域且 \(\mathbb F \subseteq \mathbb K\) 那么 \(\mathbb K\) 是 \(\mathbb F\) 上的一個向量空間（數乘的數在 \(\mathbb F\) 中）。（如 \(\mathbb C, \mathbb R\) 是 \(\mathbb Q\) 上的向量空間）
• \(\mathbb F_n[x]\) （關於 \(x\) 次數 \(\le n\) 的多項式集合）是向量空間
• \(C([a, b])\) （ \([a, b]\) 上連續實函數），\(D([a, b])\) （ \([a, b]\) 上所有可微實函數）是 \(\mathbb R\) 上向量空間
• 收斂到 \(0\) 的實數無窮數列集合
• 手動定義加法和數乘的映射 \(\mathbb F^{X}\) 是向量空間
• 定義 \(\mathbb R^+\) 上加法 \(ab\) 數乘 \(a^k\) 為 \(\mathbb R\) 上向量空間
• 只含零向量空間為零空間

定義 4.1.3

若 \(V\) 的非空子集 \(W\) 滿足加法和數乘封閉，那么 \(W\) 是 \(V\) 的一個子空間。

• \(\{0\}\) 和 \(V\) 稱為平凡子空間
• \(W\) 是子空間當且僅當 \(k\alpha + l\beta \in W(\forall \alpha, \beta \in W, k, l \in \mathbb F)\)

4.2 向量的線性相關性，基與維數

可以把 \(1.3\) 的結論推廣到任意向量空間，證明也可以一字不動搬過來

定義線性表示、線性相關、線性無關，以及兩個向量組的等價關系。

定理 4.2.1(Steinitz Exchange Lemma)

同 \(1.3. 11\)

推論 4.2.2

若 \(V\) 中兩個線性無關向量組等價，則元素個數一樣。

定義 4.2.3

定義線性無（相）關子集和基。（任意有限個互不相同的向量總是線性無關的子集和）

注記 4.2.4

\(\emptyset\) 看做零空間向量的基。

例 4.2.5

• 把 \(\mathbb C\) 看做 \(\mathbb R\) 上一個向量空間，那么 \(\{1, i\}\) 是一個基。
• \(V = \mathbb F[x]\) 的一個基為 \(\mathcal B = \{1, x, x^2, \dots, x^n, \dots\}\) 。
• \(\{1, x, x^2, \dots, x^n, \dots\}\) 為 \(C[a, b](a < b)\) 的一個線性無關子集，\(\{e^{nx}| n \ge 0\}\) 也是一個線性無關子集。

• \[\delta_x: X \to \mathbb F, y \mapsto \begin{cases} 1, & y = x\\ 0, & y \not= x\end{cases} \]
  有 \(\mathcal B = \{\delta_x | x \in X\}\) 是 \(\mathbb F^{(X)}\) 的一個基。

定義 4.2.6

若 \(V\) 存在一個有限子集 \(S = \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\}\) 使得 \(V = \mathcal L(S)\) 那么稱 \(V\) 是有限維的。

注記 4.2.7

若 \(V\) 是個無限維向量空間，那么 \(\forall n \in \mathbb N^*\)， \(V\) 中都存在 \(n\) 個線性無關的向量。

定義 4.2.8

定義集合 \(S\) 的極大（線性）無關組。

命題 4.2.9

\(S\) 為 \(V\) 的一個含有非零向量的向量組，那么 \(S\) 一定有極大線性無關組，且任意兩個極大無關組所含向量個數相同。

定理 4.2.10

設 \(V\) 是一個有限維向量空間，則 \(V\) 一定有基，並且它任意兩個基所含向量個數相等。（可推廣到無限維向量空間）

定義 4.2.11

設 \(V\) 是一個有限維向量空間且 \(\mathcal B\) 是 \(V\) 的一個基，那么稱 \(|B\) 是 \(V\) 的維數，記作 \(\mathrm{dim}_{\mathbb F} = |\mathcal B|\) 。 若 \(V\) 為無限維則 \(\mathrm{dim}_{\mathbb F} = \infty\) 。

命題 4.2.12

設 \(V\) 是一個 \(n\) 維向量空間，那么任意 \(n + 1\) 個向量線性無關。

命題 4.2.13

設 \(V\) 是一個有限維向量空間，那么 \(V\) 中任意一個線性無關組向量都可以擴充成 \(V\) 的一個基。

推論 4.2.14

設 \(W\) 是有限維向量 \(V\) 的一個子空間，則 \(W\) 是有限維的，並且 \(W\) 的基總可以擴充成 \(V\) 的一個基。特別地 \(\mathrm {dim}_{\mathbb F} W \le \mathrm {dim}_{\mathbb F} V\)

4.3 坐標與基變化

若 \(\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_n \alpha_n\) 稱 \((x_1, x_2, \dots, x_n)\) 是
\(\alpha\) 在基 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 下的坐標或坐標向量。

若對於任意一組數 \(k_1, k_2, \dots, k_m \in \mathbb F\) 總有

\[k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \dots + k_m \xi_m = 0 \Leftrightarrow k_1 \eta_1 + k_2 \eta_2 + \dots + k_m \eta_m = 0 \]

因此總有 \(\mathrm r(\{\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_m\}) = \mathrm r(\{\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_m\})\)

定義 4.3.1

定義基 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 到基 \(\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 的過渡矩陣 \(A\) 有

\((\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A\)

例 4.3.2

在平面上 \(V_2\) 上取兩個正交的單位向量 \(\alpha_1, \alpha_2\) 它們構成 \(V_2\) 的一個基，則轉 \(\theta\) 角得到 \(\alpha_1', \alpha_2'\) 那么 \(\{\alpha_1', \alpha_2'\}\) 也是一個基，則過渡矩陣為

\[\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \]

定理 4.3.3

\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 到基 \(\{\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 的過渡矩陣為 \(A\) ；
\(\{\beta, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 到基 \(\{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n\}\) 的過渡矩陣為 \(B\) ；
則
\(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 到基 \(\{\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n\}\) 的過渡矩陣為 \(AB\) 。

定理 4.3.4

• 過渡矩陣可逆，逆矩陣為反過來的過渡矩陣
• 若 \(A\) 為 \(n\) 階可逆矩陣，且 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\}\) 為基且 \((\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) A\) 那么 \(\{\beta, \beta_2, \dots, \beta_n\}\) 也是基，且 \(A\) 為過渡矩陣

4.4 子空間的交與和，商空間

\(V\) 是 \(\mathbb F\) 上一個向量空間，且 \(V_1, V_2\) 是 \(V\) 的子空間，那么 \(V_1 \cap V_2\) 是 \(V\) 的子空間。

\(V_1 + V_2 = \{\alpha_1 + \alpha_2 ~|~ \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_2\}\) 為 \(V_1, V_2\) 的和，也為 \(V\) 的子空間。

\(V_1 + V_2 + \dots + V_s = \mathcal L(V_1 \cup V_2 \cup \dots \cup V_s)\)

即 \(V_1 + V_2 + \dots + V_s\) 為包含 \(V_1, V_2, \dots, V_s\) 的最小子空間。

注記 4.4.1

\[\bigcap_{i \in I} V_i = \{\alpha \in W | \alpha \in V_i, \forall i \in I\}\\ \sum_{i \in I} V_i = \mathcal L(\cup_{i \in I} V_i) = \{\alpha_1 + \cdots + \alpha_m\} \]

定理 4.4.3

\(V_1, V_2\) 為 \(V\) 的兩個有限維子空間，則

\[\mathrm{dim}(V_1 + V_2) = \mathrm{dim} V_1 + \mathrm{dim} V_2 - \mathrm{dim}(V_1 \cap V_2) \]

考慮把 \(V_1, V_2, V_1 \cap V_2\) 的基表示出來，然后就證他們並后的基線性無關即可。那個考慮反證法，可以逐次倒退出系數全為 \(0\) 。

定義 4.4.4

設 \(V_1, V_2, \dots, V_m\) 為 \(V\) 的 \(m\) 個子空間，若 \(\forall 1 \le i \le m\) 有

\[V_i \cap (V_1 + \cdots + V_{i- 1} + V_{i + 1}) \]

則稱 \(V_1 + V_2 + \cdots + V_m\) 為直和，記作

\[V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m \]

定理 4.4.6

設 \(V_1, V_2, \dots, V_m\) 為 \(V\) 的 \(m\) 個有限維子空間，記 \(V = V_1 + V_2 \cdots + V_m\) 則下列命題等價：

• \(W = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_m\) 是直和
• \(\forall 2 \le i \le m\) 有
  \[V_i \cup (V_1 + \cdots + V_{i - 1}) = 0 \]

• \(\mathrm{dim} W = \mathrm{dim} V_1 + \mathrm{dim} V_2 + \cdots + \mathrm{dim} V_{m}\)
• 若 \(\{\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \dots, \alpha_{it_i}\}\) 為 \(V_i\) 一個基，其中 \(t_i = \mathrm{dim} V_i, i = 1, 2, \dots, m\) 則
  \[\mathcal B = \{\alpha_{ij} | 1 \le i \le m, 1 \le j \le t_i\} \]
  為 \(V\) 的一個基
• \(W\) 中每個向量唯一表示成 \(V_1, V_2, \dots, V_m\) 中向量之和，即若 \(\alpha \in W\) 且
  \[\alpha = \alpha_1 + \dots + \alpha_m = \beta_1 + \dots + \beta_m \]
  其中 \(\alpha_i, \beta_i \in V_i\) 則 \(\alpha_i = \beta_i, \forall 1 \le i \le m\)

推論 4.4.8

\(W\) 是 \(V\) 的一個子空間，則存在 \(V\) 的子空間 \(W'\) 使得 \(V = W \oplus W'\)

我們稱上述子空間 \(W'\) 為 \(W\) 的余空間或補空間。

---

設 \(W\) 是 \(V\) 的一個子空間，在 \(V\) 上定義二元關系：

\[\alpha \sim \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta \in W \]

稱作 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 模 \(W\) 同余，亦記作 \(\alpha \equiv \beta \pmod W\)

對於任意 \(\alpha \in V\) 用 \(\overline \alpha\) 記作 \(\alpha\) 的等價類，即有

\[\overline \alpha = \{\beta \in W | \beta \sim \alpha\} = \{\alpha + \xi | \xi \in W\} =: \alpha + W \]

我們也稱 \(\alpha + W\) 是 \(W\) 的一個陪集，用 \(V/W\) 記 \(V\) 中所有等價類（即 \(W\) 的所有陪集）的集合，稱 \(V\) 關於子空間 \(W\) 的商集。

進一步，\(V\) 上的加法運算導出一個映射

\[V/W \times V/W \to V \times W\\ (\overline \alpha, \overline \beta) \mapsto \overline {\alpha + \beta} =: \overline \alpha + \overline \beta \]

這個是合理定義的（也就是不取決於代表元的選取）

同時可以定義數乘，也是合理定義的。

綜上得到，上述定義的加法和數乘 \(V / W\) 是 \(\mathbb F\) 上的一個向量空間，稱為 \(V\) 關於子空間 \(W\) 的商空間。

命題 4.4.9

設 \(W\) 是向量空間 \(V\) 的一個子空間

• 若 \(\alpha_1 + W, \alpha_2 + W, \dots, \alpha_n + W\) 在 \(V / W\) 中線性無關，則 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\) 是 \(V\) 中一個線性無關的向量組。
• 設 \(V / W\) 是有限維的且 \(\alpha_1 + W, \alpha_2 + W, \dots, \alpha_n + W\) 是 \(V / W\) 的一個基，則 \(V = W \oplus U\) ，其中 \(U = \mathcal L(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)\)

進一步 \(W\) 是 \(V\) 的一個子空間，且假設 \(\mathcal X\) 是 \(W\) 的一個基。那么根據命題存在 \(V\) 的一個線性無關子集 \(\mathcal Y\) 使得 \(\mathcal X \cap \mathcal Y = \emptyset\) 且 \(\mathcal B = \mathcal X \cup \mathcal Y\) 有 \(\overline \mathcal B = \{\overline \beta = \beta + W ~|~ \beta \in \mathcal Y\}\) 是 \(V / W\) 的一個基。

因此 \(\mathrm{dim} V / W = \mathrm{dim} V - \mathrm{dim} W\) 此時，我們稱 \(\mathrm{dim} V / W\) 是 \(W\) 在 \(V\) 中的余維數。

4.5 向量空間的同構

作為向量空間 \(V\) 與 \(\mathbb F^n\) 的結構是相同的。

定義 4.5.1

設 \(V, W\) 是數域 \(\mathbb F\) 上兩個向量空間且 \(\phi: V \to W\) 是個雙射。若 \(\forall \alpha, \beta \in W, k \in \mathbb F\) 有

\[\phi(\alpha + \beta) = \phi(\alpha) + \phi(\beta), \phi(k \alpha) = k\phi(\alpha) \]

那么稱 \(\phi\) 是 \(V\) 到 \(W\) 的一個同構（映射），稱 \(V\) 與 \(W\) 是同構的，記作 \(V \cong W\)。

定理 4.5.2

數域 \(\mathbb F\) 上任意一個 \(n\) 維向量空間都與 \(\mathbb F\) 上的 \(n\) 維行（或列）向量空間 \(\mathbb F^n\) 同構。

定理 4.5.3

• \(\phi(0) = 0, \phi(-\alpha) = - \phi(\alpha), \alpha \in W\)
• \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m \in V\) 線性相關（無關）\(\Leftrightarrow\) \(\phi(\alpha_1), \phi(\alpha_2), \dots, \phi(\alpha_m) \in W\) 線性相關（無關），特別地 \(\mathrm{dim}_{\mathbb F} V < \infty \Leftrightarrow \mathrm{dim}_{\mathbb F} W < \infty\)
• \(\phi^{-1}: W \to V\) 也為同構

命題 4.5.4

向量空間的同構是一個等價關系。

推論 4.5.5

數域 \(\mathbb F\) 上兩個有限維向量空間同構的充要條件是它們的維數相同。

充分性：證明原來的基映射后可以直接成為新的基。

必要性：\(V \cong \mathbb F^n \cong W\)

命題 4.5.6

設 \(U, W\) 是 \(V\) 的子空間且 \(V = U \oplus W\) 則 \(U \cong V / W\) 。