第四章置換群

對一給定的置換，各列的排列次序無關緊要，重要的是每一列上下兩個數字間的對應關系

從上面的例子，調換兩列的順序不影響結果
兩個置換的乘積定義為相繼做兩次置換
求置換乘積SR的方法（非常非常重要，背，后面一直經常用，只要遇到兩個置換相乘，就可以用）：重新排列R或S的各列，使R的第二行和S的第一行排列一樣，且順序為1，2，3等，由R的第一行和S的第二行組成的2×n矩陣即為SR
通過特殊值法舉例可以理解這個方法：

注意乘積SR是先進行 $R$ 置換，再進行 $S$ 置換：將第五個元素排到第一個元素，再將第一個元素排到第三個元素，故SR中是將第五個元素排到第三個元素。置換的理解：其實應該將其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 來理解。（背）
另一種求置換的乘積的方法：寫成這種形式：這是北大書中的方法，我覺得這種方法不如上面的方法好。以后還是用上面的方法。

其實這種形式完全和上一種方法一樣。這種方法本質上和上一種方法一樣，只是寫法不同。

SR可以理解為把R置換的第二行數字（即12345）作S置換，或者把S置換的第一行數字作 $R_{- 1}$ 置換（后面會講逆置換是什么）：就是將12345作 $R_{- 1}$ 置換，即：

置換用矩陣來描寫，但置換的乘積不服從矩陣乘積規則

2.n個客體置換群Sn

1）定義：n個客體的n!個置換的集合滿足群的四個條件，構成群，稱為n個客體置換群，記作Sn

逆元：把置換的上下兩行交換得到的置換是逆置換

證明：注意是兩個置換相乘，故可以通過“求置換乘積SR的方法”來理解！或將其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 來理解。

2)子群：

n 個客體中 m 個客體的所有置換變換構成置換群 Sm ，顯然 Sm 是 Sn 的子群 (m ≤ n)

Sm是Sn中的一個集合，且滿足群的條件，故是子群。

3.輪換和對換

1）輪換：輪換是一類特殊的置換： $n - l$ 個客體保持不變，余下的 $l$ 個客體順序變換（背），形成一個循環； $l$ 稱為輪換長度

注意置換的理解：其實應該將其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 來理解。

2）輪換的性質

用行矩陣描寫輪換時，數字的排列次序不能改變，但可以順序變換（背）

因為行矩陣的排列順序是第一個位置的客體排第二個，第二個客體排第三個...，故不能改變次序。
長度為1的輪換是恆等變換
對換：長度為2的輪換稱為對換，對換滿足

是兩個置換相乘，它的證明也可以用”求置換乘積SR的方法“來理解！，
，左邊第一行和右邊第二行可以消掉，故最后得到E。
長度為 $l$ 的輪換，它的 $l$ 次自乘等於恆元，即它的階數為 $l$

注意從置換的理解：其實應該將其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 來理解。就可以理解上面這個性質。
兩個沒有公共客體的輪換，乘積次序可以交換（背）

從“置換的理解：其實應該將其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 來理解。”也可以理解這個性質。
輪換的逆：輪換的逆就是將所有元素換個順序

置換的逆是上下兩行交換。

2）置換分解為輪換乘積

a.任何一個置換，都可以唯一地分解為沒有公共客體的輪換乘積

證明：
對任一給定的置換R，任選一數 $a_{1}$ （ $a_{1}$ 表示第 $a_{1}$ 位置上的元素），經過R置換后，第 $a_{1}$ 位置上的元素排到第a2個位置，原來排在第a2位置上的元素排到a3，以此類推，總會有某個數如第al位置上的元素會排到第a1個位置，這樣就形成了一個循環，即置換R中存在一個包含a1的長度為l的輪換（根據輪換的定義知，這是輪換，因為“余下的 $l$ 個客體順序變換”，且見上面輪換定義中的表達式）

將這個例子套上面這句話就可以理解上面這段換。

在余下的數字中，任選一b1，用與上面同樣的辦法，可以找到一個包含b1的循環，即置換R中存在一個包含b1的輪換，它與包含a1的輪換無公共客體，乘積次序可交換。
把這做法繼續下去，總能窮盡全部n個數，從而把置換R分解為若干沒有公共客體的輪換的乘積，這些輪換的乘積次序可以互相交換。
在分解中出現的長度為1的輪換（恆元）可以略去。

因為是恆元，故可以略去。

b.該置換的輪換結構：把一置換分解為沒有公共客體的輪換乘積時，各輪換長度的集合（背），稱為該置換的輪換結構

表達一個置換的輪換結構時，輪換長度的排列順序可以任意

從“置換的理解：其實應該將其乘 $(φ_{1} φ_{2} φ_{3} φ_{4} φ_{5})$ 來理解。”可以理解這個性質。

c.配分數：把一個正整數n分解為若干個正整數之和，這樣的若干個正整數的集合稱為n的一組配分數

d.置換的輪換結構由n的一組配分數來描寫（背）：

n個客體（重要，背）

e.兩輪換有一個公共客體時乘積的計算方法

兩輪換有一個公共客體時，連接（背，重要：特別注意連接的時候，連接的那個元素d依然存在，易錯）：

其中用了“求置換的乘積SR的方法”。

有一個公共客體的兩個輪換的乘積：在每個輪換內部，把公共客體通過順序變換移到最右或最左，然后按上面公式把兩個輪換接起來.

用行矩陣描寫輪換時，數字的排列次序不能改變，但可以順序變換

例 $: (123) (4256) = (312) (2564) = (312564)$

把一個輪換分解為有一個公共客體的兩個輪換乘積：在輪換的任意一個位置砍一刀
在輪換中任意客體的位置，例如d處，把輪換切斷成兩個輪換的乘積，並讓d同時出現在兩個輪換的最右或最左位置。

f.兩輪換有兩個或多個公共客體時乘積的計算方法

先砍一刀，再順序變換

注意后兩個沒有公共客體，沒有公共客體的輪換，乘積次序可以交換

方法：把輪換在公共客體中切斷，經過順序變換和切斷使得兩個公共客體形成可以消掉的對換，將對換消掉，再由“沒有公共客體的輪換，乘積次序可以交換“得到最后結果。（記）
基本思想：把輪換在公共客體中切斷，化為[每對輪換乘積只有一個公共客體的形式]后再相乘，其中運用了5個規則(背，寫題先寫這5個規則）：
（1）一個輪換分解為有一個公共客體的兩個輪換乘積：在輪換的任意一個位置砍一刀
（2）兩輪換有一個公共客體時，連接（背）
（3）用行矩陣描寫輪換時，數字的排列次序不能改變，但可以順序變換
（4）對換滿足：
（5）沒有公共客體的輪換，乘積次序可以交換

4.置換群的類

1） $R$ 的共軛元素: ${SRS}^{- 1}$

把 $R$ 置換的上下兩行數字同時做 $S$ 置換即得 $R$ 置換的共軛元素 SRS $^{- 1}$ ，即
重要：
$R$ 置換的上下兩行 $([M a t h P r o c e s s i n g E r r o r] 1, 2, \dots, n c 1, c 2, \dots, c n)$ 同時作 $S$ 置換即得 $R$ 置換的共軛元素SRS $^{- 1}$ 。這里 $S$ 既可以寫成 $([M a t h P r o c e s s i n g E r r o r] 1, 2, \dots, n d 1, d 2, \dots, d n)$ 對 $R$ 置換的上面那行操作，也可寫成 $([M a t h P r o c e s s i n g E r r o r] c 1, c 2, \dots, c n f 1, f 2, \dots, f n)$ 對 $R$ 置換的下面那行操作。最終的結果是： $([M a t h P r o c e s s i n g E r r o r] d 1, d 2, \dots, d n f 1, f 2, \dots, f n)$
證明：

用“求置換乘積SR的方法”來理解更好，不用北大群論講義這個方法

注意s1,d1等字母其實代表的都是數字2，5，等等各種數字。

2）互相共軛的兩置換有相同的輪換結構

說明：置換的輪換結構由n的一組配分數來描寫：
，故這個性質說的是互相共軛的兩置換分解為沒有公共客體輪換的乘積的形式時，分解出來的配分數相同。
證明：因為置換可以寫成沒有公共客體輪換的乘積。故

3）有相同輪換結構的兩置換必定互相共軛

證明：

用“求置換乘積SR的方法”來理解更好，不用北大群論講義這個方法

4）具有相同輪換結構的置換構成置換群 $S_{n}$ 的一個類（背）

證明：

5）置換群的類由置換的輪換結構來描寫，而置換的輪換結構由一組配分數來描寫，故置換群的類數、不等價不可約表示的個數都等於整數n分解為不同配分數的數目（背）

一個置換群有幾個類就看它有幾個可能的輪換結構，看它有幾個可能的輪換結構就是看它有幾個可能的配分數，故置換群的類數等於整數n分解為不同配分數的數目。
根據第三章知道，有限群不等價不可約表示的個數等於類的個數，故置換群的不等價不可約表示的個數也等於整數n分解為不同配分數的數目。
例如 $S_{3}$ 群，這個置換群有3!=6個元素。這個群對應3個客體，n=3，其配分數：3=1+2=1+1+1=3，故其有3種配分數，故有3個類，即這6個元素分為三個類，這個群有3個不等價不可約表示。
$S_{4}$ 群有4！=24個元素。4個客體，

故有5個類，這個群有5個不等價不可約表示。

6）置換群的某個類中的元素數目公式

如果對某個置換群，告訴你某一個類的輪換結構，則它這個類中有幾個元素？比如S4，有（2,1²）這個輪換結構，則這個類有幾個元素，下面有一個公式可以用來計算：
如果群 $S_{n}$ 的類含 $v_{1}$ 個 1 循環 $, v_{2}$ 個 2 循環 $, \dots, v_{n}$ 個 $n$ 循環（含義是有 $v_{1}$ 個長度為1的輪換， $v_{2}$ 個長度為2的輪換，...）, 即它的輪換結構為，有條件：。則置換群的該類中的元素數目公式為：

注意：

一個類對應一個輪換結構；
一個元素（即一個置換）對應一個置換矩陣（或因為置換可以寫成沒有公共客體的輪換乘積的形式，故也可以說一個元素對應一個輪換乘積形式）；
輪換結構與輪換乘積形式的關系：
輪換結構是一個輪換乘積形式中各輪換長度的集合，比如上面的例子中集合就是{2，2}
若找一個類包含的元素數目就是要找一個”各輪換長度的集合“對應的輪換乘積形式的數目。故有以下證明：

故它們對應同一個置換，故：

得證。

5.交變子群

在輪換每一客體處切斷，則輪換會分解為對換的乘積，如
一般地，長度為l的輪換可分解為不少於l−1個對換的乘積，即（以下右邊就是 $l - 1$ 個對換）

比如長度為3，至少可以分解為2個對換的乘積，之所以說最少是因為長度為3的輪換還可以分解為4個、6個對換的乘積。
將輪換分解為對換乘積時，這些對換有公共客體，並且分解方式也不唯一，例如

這是因為輪換中數字的順序可以順序變換，故有以上第一行的分解方式。
其他行的分解方式可以通過”兩輪換有一個公共客體時乘積的計算方法“來直接證明（簡單，5個規則，省略），也可以是利用了兩個公式：
- 這兩個公式來自北大群論講義。我自己寫一個證明：利用5個規則：
  例如

2）奇置換、偶置換

任何置換都可分解為若干個對換的乘積，分解方式雖不唯一，但它包含對換個數的奇偶性是確定的：長度為奇數的輪換可分解為偶數個對換的乘積，長度為偶數的輪換可分解為奇數個對換的乘積。

從前面的例子可以知道。老師沒有說證明。

置換分解為對換乘積時，對換數目是偶數的置換稱為偶置換，對換數目是奇數的置換稱為奇置換。
長度為奇數的輪換是偶置換，長度為偶數的輪換是奇置換。（背，后面用，上面的兩個不用背）
兩個偶置換或兩個奇置換的乘積是偶置換，一個偶置換和一個奇置換的乘積是奇置換；恆元是偶置換。（臨時舉例子推導）

3）交變子群

置換群中所有偶置換的集合構成指數為2的不變子群，稱為交變子群，奇置換的集合是它的陪集，商群是C2群。

證明:先證明置換群中將所有偶置換挑出來會構成一個子群，因為只要判斷它滿足封閉性即可，任何兩個偶置換相乘還是偶置換，恆元也有。

4）置換宇稱

利用商群的不可約表示也是原群的不可約表示知道：根據 $C_{2}$ 群知道：
$n > 1$ 時, 除恆等表示外 $, S_{n}$ 至少還有一個一維非恆等表示，稱為反對稱表示，置換 $R$ 在該表示中的值稱為它的置換宇稱，記作 $δ (R) :$
（背）

6.置換群的生成元

相鄰客體的對換記作： $P_{a} = (a a + 1)$ （背）
任何置換都可寫成沒有公共客體的輪換的乘積，任何輪換都可分解為若干對換的乘積
任何對換都可表示為相鄰客體的對換乘積：

這些公式都可以通過前面“交變子群”一節的來證明。
上面公式的最后一行右邊就是相鄰客體的對換乘積，從最后一行往上回代一個一個公式，就知道：任何對換都可表示為相鄰客體的對換乘積。得證。

故：任何置換都可表示為相鄰客體的對換之乘積。

對n個客體置換群，引入長度為 $n$ 的輪換 $W = (12 \dots n)$ （背）
則 $: P_{a} = W P_{a - 1} W^{- 1} = W^{2} P_{a - 2} W^{- 2} = \dots = W^{a - 1} P_{1} W^{- (a - 1)}$
此即：任何相鄰客體的對換 $P_{a}$ 都可由 $W$ 和 $P_{1}$ 生成。

證明:
綜上，置換群的生成元是 $W$ 和 $P_{1}$ （背），置換群的秩為2.
有限群生成元的數目稱為有限群的秩

7.Cayley定理：任何一個n階有限群都與置換群Sn的一個子群同構

見群論第20節課1小時17分鍾。沒時間，算了。這段ppt顏色不同，不知道考不考

1.2節楊圖、楊表和楊算符

1.楊圖

1）一個配分數 $(λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m})$ 標記置換群的一個不等價不可約表示（取名字而已，沒有物理意義）

前面已經說過，置換群 $S_{n}$ 的類的個數等於 $n$ 分解為不同組配分數的數目，因為不等價不可約表示的個數等於類的個數，故置換群不等價不可約表示的個數也等於 $n$ 分解為不同組配分數的數目。一個類中的元素都對應相同的輪換結構（即相同的配分數）。
置換群 $S_{n}$ 的類由 $n$ 的配分數 $(λ) = (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m})$ 描寫, 不等價不可約表示也可以用配分數來描寫（只是取名字而已，沒有物理意義，類似之前給不等價不可約表示取名字為A1,B1等)，注意(背:)一個配分數 $(λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m})$ 標記置換群的一個不等價不可約表示, 記作 $[λ] = [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m}]$ , 其中
（配分數中的這些數從大到小排列）
（表明這些數是n的配分數）
不過，由相同配分數描寫的類和不等價不可約表示並無任何關系，因為不等價不可約表示和配分數的對應只是取名字取出來的，而類和配分數的對應是真實對應的，某個配分數就對應某個類，不能取名字而將其對應到另一個類（原因見第一節的4.置換群的類中：
）

例：

2）楊圖：對配分數 $[λ] = [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m}]$ , 畫 $m$ 行方格圖，左邊對齊，第一行含 $λ_{1}$ 格，第二行含 $λ_{2}$ 格，以此類推，這樣的方格圖稱為配分數 $[λ]$ 對應的楊圖，簡稱楊圖 $[λ]$ （背）

例：

楊圖中，上面行的格子數不少於下面行的格子數，左邊列的格子數不少於右邊列的格子數，為強調這一規則，稱它為正則楊圖

這是因為前面已經規定了配分數中這些數都是從大到小排列，故一定是上面行的格子數不少於下面行的格子數

我們不討論不滿足此規則的楊圖，即我們所說的楊圖都是指正則楊圖。

每個楊圖都唯一地對應於置換群 $S_{n}$ 的一個不等價不可約表示（背），不同楊圖對應的不可約表示不等價

因為每個配分數對應一個楊圖，而一個不等價不可約表示是用一個配分數來標記的。

楊圖的大小：對兩個楊圖 $[λ] 和 [λ^{'}]$ ，從第一行開始逐行比較它們格子數的多少，第一次出現格子數不同時，格子數多的楊圖大

例： $S_{3}$ 群的楊圖從大到小排列為

例： $S_{4}$ 群的楊圖從大到小排列為

對偶楊圖：把楊圖 [ $λ$ ] 的行和列互換得到的楊圖 $[\tilde{λ}]$ 稱為楊圖 [ $λ$ ] 的對偶楊圖（背），對偶楊圖對應的不可約表示稱為對偶表示

例： $S_{3}$ 群的楊圖 [3] 和 $[1^{3}]$ 互為對偶楊圖
$S_{4}$ 群的楊圖 [4] 和 $[1^{4}]$ 以及 [3,1] 和 $[2, 1^{2}]$ 分別互為對偶楊圖
若楊圖行列互換后得到的是它自己（即 $[λ] = [\tilde{λ}]$ ），則它稱為自偶楊圖
例 $: S_{3}$ 群的楊圖 [ 2,1 ] 為自偶楊圖
$S_{4}$ 群的楊圖 [ 2,2] 為自偶楊圖

2.楊表

1）楊表：對於給定的楊圖 $[λ]$ ，把 1 到 $n$ 的 $n$ 個自然數分別填入楊圖的 $n$ 個格子中，就得到一個楊表（楊盤）（背）

2）正則楊表：從左到右是增加的，從上到下也是增加的（背）

$n$ 格的楊圖有 $n!$ 個不同的楊表，但我們關心的是正則楊表，正則楊表的數目不是 $n!$ 個，而是更少：
如果在楊表的每一行中，左面的填數小於右面的填數，在每一列中，上面的填數小於下面的填數，則此楊表稱為正則楊表。
即：從左到右是增加的，從上到下也是增加的，這種楊表稱為正則楊表。
正則楊表的大小：同一楊圖對應的正則楊表, 從第一行開始逐行從左到右一個一個比較它們的填數，第一次出現填數不同時，填數大的正則楊表大
例如，楊圖 [3,2] 對應的全部正則楊表如下，它們從小到大排列為

注意是一個一個比，故最后兩個正則楊表中第一行第二個是3，比前面的楊表更大。

3）維數定理: 置換群 $S_{n}$ 的不可約表示 $[λ]$ 的維數，等於楊圖 $[λ]$ 對應的正則楊表的個數

老師說沒時間證明，數學家證明了。

例：

鈎形數規則

如果維數比較高，一個數一個數填很麻煩，但有鈎形數規則：
楊圖 $[λ]$ 對應的正則楊表的個數（即不可約表示的維數）由鈎形數規則給出：

對楊圖的第 $i$ 行第 $j$ 列格子，定義鈎形數 $h_{i j}$ , 它等於一條鈎形路徑在楊圖中經過的格子數，這條路徑從楊圖第 $i$ 行最右面的格子處進入楊圖，向左走到第 $i$ 行第 $j$ 列格子處向下轉彎，從第 $j$ 列最下面的格子處離開楊圖
楊圖 [ $λ$ ] 對應的正則楊表的個數，或者說楊圖 [ $λ$ ] 對應的不可約表示的維數是：n的階乘除以鈎形數相乘（背）：

老師說沒時間證明
鈎形數楊表：將楊圖 $[λ]$ 中每格的鈎形數 $h_{i j}$ 填入該楊圖（背），得到的楊表稱為該楊圖的鈎形數楊表

根據不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數：

3.楊算符

對給定的楊圖 $[λ] = [λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{m}]$ ,其第一行有 $λ_{1}$ 個格子等，一共有m行 $λ_{1}$ 列，其對偶楊圖記為 $[\tilde{λ}] = [τ_{1}, τ_{2}, \dots, τ_{λ_{1}}]$ ,其第一行有 $τ_{1}$ 個格子，第二行有 $τ_{2}$ 個格子等，對偶楊圖一共有 $λ_{1}$ 行m列，即有 $τ_{1} = m$ 。
考慮楊圖[λ]對應的某一正則楊表：

1）橫向置換：保持楊表中同一行的數字只在這一行中變動的置換稱為橫向置換，記作 $p$ , 所有橫向置換的集合記作 $R (λ)$

例：

如果有多行，楊表很復雜時，找橫向置換:

第 $i$ 行 $λ_{i}$ 個數字間的 $λ_{i}!$ 個橫向置換的集合構成 $S_{n}$ 群的子群 $P_{i}$
比如前面的例子中，第一行3個數字1，3，4之間的置換是S4群的子群。
$m$ 行的正則楊表共有 $m$ 個這樣的子群，這些子群可以構成直乘群：這些子群的直乘構成 $S_{n}$ 群的 $λ_{1}! λ_{2}! \dots λ_{m}!$ 階的子群，記為 $R (λ) = P_{1} \otimes P_{2} \otimes \dots \otimes P_{m}$
此直乘群中的任何一個元素都能保持楊表中同一行的數字只在這一行中變動，故都是橫向置換，所有可能的橫向置換構成的集合就是直乘群 $R (λ)$ （背）
此直乘群是 $S_{n}$ 群的子群。

直乘群：

這些子群直乘構成的群確實是直乘群，因為滿足直乘群的三個條件：恆元為唯一公共元素；分屬不同子群的元素可對易；任何一個元素可以寫成子群兩個元素乘積的形式。
此直積群有 $λ_{1}! λ_{2}! \dots λ_{m}!$ 個元素。

2）縱向置換

保持楊表中同一列的數字只在這一列中變動的置換稱為縱向置換，記作 $q$ , 所有縱向置換的集合記作 $C (λ)$

楊圖（注意不是對偶楊圖）中第 $j$ 列 $τ_{j}$ 個數字間的 $τ_{j}!$ 個縱向置換的集合構成 $S_{n}$ 群的子群 $Q_{j}$
$λ_{1}$ 列的正則楊表共有 $λ_{1}$ 個這樣的子群，它們的直乘構成 $S_{n}$ 群的 $τ_{1}! τ_{2}! \dots τ_{λ_{1}}!$ 階的子群，記為 $C (λ) = Q_{1} \otimes Q_{2} \otimes \dots \otimes Q_{λ_{1}}$

3）橫算符：所有橫向置換之和稱為給定楊表的橫算符（背，后面的題）

就是將直乘群R(λ)中的所有元素加起來。
橫算符不是 $S_{n}$ 中的一個元素，它是一些元素（置換）加起來，故它是置換群的群代數中的一個矢量。
其實橫置換、縱置換也是群代數中的一個矢量。

4）縱算符：所有縱向置換乘以各自的置換宇稱后相加，稱為給定楊表的縱算符（背，后面的題）

置換宇稱（背）：長度為奇數的置換是偶置換，長度為偶數的置換是奇置換，

給定楊表橫（縱）算符的寫法（背，重要）

本來是將楊表中每一行的橫置換直乘，再將得到的所有可能的直乘加起來得到橫算符，但其實也有另一種方法:
給定楊表橫算符的寫法：先把每一行的所有橫向置換加起來，再把不同行的（橫向置換之和）乘起來。（背，重要）
給定楊表縱算符的寫法：先把每一列的所有縱向置換乘上各自的置換宇稱后加起來，再把不同列的縱向置換之代數和乘起來。（背，重要）
縱置換本來是每一列的縱置換直乘起來，再乘置換宇稱，再求和。根據前面奇置換偶置換的知識可以證明在縱算符定義中的置換宇稱其實是每一列的置換宇稱之積。故以上縱算符的另一種寫法“給定楊表縱算符的寫法：先把每一列的所有縱向置換乘上各自的置換宇稱后加起來，再把不同列的（縱向置換之代數和）乘起來”成立。

5）楊算符：橫算符乘以縱算符，稱為給定楊表的楊算符（背，可以計算楊算符）

正則楊算符：正則楊表對應的楊算符稱為正則楊算符，默認以后說的都是正則楊算符，以后省略正則兩個字。

注意置換宇稱是縱置換q的置換宇稱，與橫置換無關。

橫向置換、縱向置換、橫算符、縱算符、楊算符均為群代數中的矢量（背）

楊算符 $Y \neq 0$

證明：根據前面知道，橫向置換的集合 $R (λ)$ 與縱向置換的集合 $C (λ)$ 只有一個公共元素恆元,

只有恆元能使得置換后，同一行還在同一行，同一列還在同一列

故楊算符 $Y$ 展開式中每一項 $p q$ 都是 $S_{n}$ 群的不同元素，因此楊算符中一共有 $R (λ) C (λ)$ 項加起來，這些項都不相同（且這些項都在群空間中的第一象限），ppt中直接說這些項是消不掉的，故楊算符 $Y \neq 0$ ，但我覺得這個證明有問題，因為還乘了置換宇稱，會不會有這種情況：，所以還需要嚴格證明，沒時間，算了。

證每一項 $p q$ 都是 $S_{n}$ 群的不同元素：設 $p, p^{'} \in R (λ), q, q^{'} \in C (λ)$ , 若 $p q = p^{'} q^{'}$ , 則 $p^{' - 1} p = q^{'} q^{- 1}$ ，左邊還是橫置換，右邊還是縱置換，故此式等於恆元,故有 $p^{'} = p, q^{'} = q$ ，每一項 $p q$ 都是 $S_{n}$ 群的不同元素。得證。

楊圖 $Y$ 和楊表 $Y$

只有在楊圖和楊表給定時，才能寫出楊算符 $Y$ , 故通常把楊算符 $Y$ 對應的楊圖和楊表，稱為楊圖 $Y$ 和楊表 $Y$ ; 若單獨說 $Y$ , 則指楊算符本身

例

根據“給定楊表橫（縱）算符的寫法”可以寫出：
例：S3群各不可約表示楊圖對應的正則楊表的楊算符

注意記住有恆元。
注意此楊表對應的楊算符沒有置換宇稱，因為置換宇稱是縱置換的置換宇稱，而縱置換是恆元，是偶置換，置換宇稱為1，縱置換省略。

根據楊算符、橫算符的定義可以寫出此行。
楊算符定義：橫算符乘以縱算符，
橫算符定義：所有橫置換之和，注意本來長度為3的輪換有6種，將6種都寫出來，然后去除重復的，就只有（123）、（132）兩種。
本來根據楊算符定義還應乘縱算符，再求和，但是縱只有一格，所有縱置換只有一個，就是恆元，恆元長度為1，是奇數，故恆元是偶置換，置換宇稱為1，“只有一格的行或列對應恆元，相乘時可略去”，故根據楊算符定義算楊算符時，乘的縱算符省略，就只是橫算符相加。

楊算符定義：橫算符乘以縱算符，
背：求楊算符的方法：三部曲：
（1）給定楊表橫算符的寫法：先把每一行的所有橫向置換加起來，再把不同行的橫向置換之和乘起來。
第一行所有橫置換加起來：
第二行所有橫置換是E，
不同行的橫向置換之和乘起來等於：，這就是橫算符。
（2）給定楊表縱算符的寫法：先把每一列的所有縱向置換乘上各自的置換宇稱后加起來，再把不同列的縱向置換之代數和乘起來。
第一列所有縱向置換乘上各自的置換宇稱后加起來：（特別注意記住還有恆元，易錯）
第二列所有縱置換是E，
不同列的縱向置換之代數和乘起來得到，這就是縱算符。
（3）根據楊算符定義：橫算符乘以縱算符，即得楊算符。（特別注意記住必須橫算符在前乘以縱算符，易錯。因為兩個有相鄰客體的輪換乘積時，乘積次序不能調換。只有沒用公共客體時，乘積次序可交換。）

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