被ZJOI 2018 DAY2 T1 逼得滾回去學數學了。(⊙o⊙)…
學了一些置換群的理論。
有一些定義：
群：符合結合律，單位元，逆元的東西。
abel群： 符合交換律的群
群的階： 群中集合的元素個數；
生成子群： 拿出一些元素后互相生成所產生的群。
陪集： 拿一個元素出來，左乘或右乘一個子群所產生的群。
定理1.設H是群G的子群，對任意H的兩個左陪集aH和bH，要么aH=bH,要么aH∩bH=∅，對右陪集亦然；
等價於隨便找一個G的子群H，H的不相等的（左|右）陪集們不重不漏地包含了G的所有元素；
一個符號：記|G:H|表示G中H的不同右的個數，如，設1為G的子群，且只包含單位元，則|G:1|=|G|，即集合G的大小，也即群G的階；
那么有 |G:H|=|G|/|H|
定理2:若H是G的子群，則|G:x|=|G:H||H:x|
定理3:設H是有限群 
的子群，則
的階整除
的階。
置換： 一個有限集X的置換π是從該有限集映至自身的雙射；如果我們把G的元素從1到|X|編號，那么置換π可以看做一個1到|X|的一個排列；實在不行就理解成行列式中那個決定前面系數的那個東西
由目測可知，置換成abel 群。
軌道與等價類：
原數列集合中的元素β，在置換群G中的所有置換中的像，構成的集合叫做β的軌道，記作
,我們也稱其為包括β的等價類；
穩定子群（集）與穩定化子：
有限集X中某m個元素構成了X的一個子集A，置換群G中可以使A中所有元素不動的置換構成的子群叫做A的一個穩定子群，又稱穩定集，記為
；
該定義在m=1時，需要特別關注，也就是有限集X中的元素k，置換群G中可以使元素k不動的置換構成的子群（對其他元素不做要求），記為Gk，我們也稱其為k的穩定化子；通俗的講，就是不動點所成的群。
軌道-穩定集定理：
|kG|*|Gk|=|G|;
證明：由定理1 ，2 可知是充分的划分。
又因為置換等於一系列輪換的積，在加上行列式的第二定義，易得上述結論。⊙o⊙…
Burnside引理:
軌道數=不動點數之和/置換群的階
由軌道-穩定集定理易得。
Polya定理
就是把burnside引理寫成輪換形式。
poj 2369
給你一個排列p，求k，使得p^k=p
先找出所有的輪換，然后循環階數的lcm就是答案了
poj 1026
給你一個長度為n的置換，然后給你m是下面做置換的次數，再給你個字符串，長度為n，空的地方用空格，然后求置換后的字符串
找輪換后暴力。
poj 1721
給一個置換p |p|<=1000,求 log 2 p
由群的性質得這個操作會循環，那么暴力。
CodeForces 612E
給一個置換p |p|<=1000000,求 sqrt p
奇偶討論
poj 3270
給你一個排列，然后讓你交換到遞增排列，交換X和Y的位置，花費就是X+Y，求變成遞增序列的最小花費
貪心
未完待續。。。