第四章-定積分

1,定積分定義

1. 設函數f(x)在定義[a,b]上, 若對[a,b]的任一中分法, a=x₀<x₁<x₂<...<x_n = b, 令Δx_i = x_i - x_i-1, 任取ξ€[x_i,x_i-1], 只要λ=max{Δx_i} ->0時, ∑ⁿ_i=1f(ξ_i)Δxi總趨於確定的極限I,則稱次極限I為函數f(x)在區間[a,b]上的定積分, 記作∫^b_af(x)dx
   1. 即 ∫^b_af(x)dx = limλ->0∑ⁿ_i=1f(ξ_i)Δx_i
2. 定積分可積的充分條件:
   1. 定理1: 函數f(x)在[a,b]上連續==>f(x)在[a,b]可積
   2. 函數f(x)在[a,b]上有界, 且只有有限個間斷點==>f(x)在[a,b]上可積

不定積分與定積分的區別:

1.  不定積分取的是所有函數所有的原函數的表達式
2. 定積分取的是一個數值

2,定積分的性質

1. ∫_a^bf(x)dx = ∫_b^af(x)dx ==> ∫_a^af(x)dx = 0
2. ∫_a^bdx = b - a
3. ∫_a^bkf(x)dx = k∫f(x)dx  (k為常數)
4. ∫_a^b[f(x) ± g(x)]dx = ∫_a^bf(x) ± ∫_a^bg(x)dx
5. ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx
6. 若在[a,b]上f(x)≥0,則∫_a^bf(x)dx ≥ 0
   
   1. 推論: 若在[a,b]上f(x) ≤ g(x),則, ∫_a^bf(x)dx ≤ ∫_a^bg(x)dx  (定積分對於不等號具有傳遞關系, 積分區間相同)
   2. 推論2:| ∫_a^bf(x)dx | ≤ ∫_a^b| f(x) |dx (a<b)
7. 設M = maxf(x) [a,b], m = minf(x) [a,b] ==> m(b-a) ≤ ∫_a^bf(x) ≤ M(b -a)   [積分估值定理]
8. 積分中值定理
   1. 若f(x)€C[a,b], 則至少存在一點ξ€[a,b], 使∫abf(x)dx = f(ξ)(b-a)

3,積分上限的函數及其導數

1. 定理1: 若f(x)€C[a,b],則變上限函數Φ(x) = ∫_a^xf(t)dt, 是f(x)在[a,b]上的一個原函數
2. 說明
   1. 定理1證明了連續函數的原函數是存在的, 同時為通過原函數計算定積分開辟了道路
   2. 變限積分求導:
      1. d/dx∫_x^bf(t)dt = -f(x), d/dx∫_a^φ(x)f(t)dt = f[φ(x)]φ'(x)
      2. d/dx∫_Ψ(x)^φ(x)f(t)dt = d/dx[∫_Ψ(x)^af(t)dt + ∫_a^φ(x)f(t)dt] = f[φ(x)]φ'(x) - f[Ψ(x)Ψ'(x)]

4,牛頓-萊布尼茨公式

1. 定理2: 設F(x)是連續函數f(x)在[a,b]上的一個原函數, 則∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)     (牛頓-萊布尼茲公式)   記作: [F(x)]_a^b  <==>F(x)|_a^b

5,定積分的換元法

1. 定理1: 設函數f(x)€C[a,b], 單值函數x=φ(t)滿足: 
   1. φ(t)€C¹[α,β], (一階導數)φ(α)=a, φ(β)=b;
   2. 在[α,β]上a≤φ(t)≤b
2. 則∫_a^bf(x)dx = ∫_α^βf[φ(t)φ'(t)]dt
3. 說明: 
   1. 當β<α, 即區間換為[β, α]時, 定理1扔成立
   2. 必需注意換元必換線, 原函數中的變量不必代回
   3. 換元公式也可以反過來使用, 即: ∫_α^βf[ψ(t)ψ'(t)]dt  (令x=ψ(t))
4. 設f(x)€C[-a.a],
   1. 若f(-x) = f(x),則∫_-a^af(x)dx = 2∫₀^af(x)dx
   2. 若f(-x) = -f(x), 則∫_-a^af(x)dx = 0

6,定積分的分布積分法

1. 定理2: 設μ(x), ν(x)€C1[a,b], 則∫_a^bμ(x)ν'(x)dx = μ(x)ν(x)|_a^b - ∫_a^bμ'(x)ν(x)dx

定積分計算旋轉體的體積

1. 極坐標情形: 設φ(θ)€C[α, β], φ(θ)≥0, 求曲線r = φ(θ)及射線θ = α, θ=β圍成的曲邊扇形的面積
   1. x = rcosθ
   2. y = rsinθ
   3. x² + y² = r²
2. 扇形面積的計算
   1. A = 1/2*r2*θ(圓心角)
3. 旋轉體的體積
   1. y = f(x), a≤x≤b, x軸圍成的圖形繞x軸旋轉而得到的旋轉體的體積為 V = ∫_a^bπf²(x)dx
   2. x = φ(y),c≤y≤d, y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉而得到的旋轉體的體積圍: V = ∫_c^dπφ²(y)dy

定積分與概念有關的問題的解析

1. 用定積分概念與性質求極限
2. 用定積分性質估值
   1. m(b-a)≤∫_a^bf(x)dx≤M(b-a)
   2. f(x)≤g(x) = ∫_a^bf(x)dx≤∫_a^bg(x)dx(積分的保序性)
3. 與變限積分有關的問題
   1. 對於可變限積分,通常使等式兩端求導

不定積分的性質

1. d/dx[∫f(x)dx] = f(x) 或 的[∫f(x)dx] = f(x)dx
2. ∫F'(x)dx = F(x) + C 或 ∫dF(x) = F(x) + C
3. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx
4. ∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx
5. (∫_ν(x)^μ(x)f(t)dt)' = (∫_ν(x)^af(t)dt + ∫_a^μ(x)f(t)dt)' = -f[ν(x)]ν'(x) + f[μ(x)]μ'(x)
6. x = φ(t), y = ψ(t), dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = ψ'(t)/φ'(t)