有解判定
- 系數矩陣: 降方程組的系數用矩陣表示出來, 將方程組右邊的值也放到矩陣中,叫做增廣矩陣.用r(Ã)表示增廣矩陣的秩
- 當r(A)=r(Ã), 有解
- r(A)=r(Ã)=n, 唯一解
- r(A)=r(Â)<n, 無窮多解
- 當r(A)≠r(Ã),無解
- 步驟:
- 寫出增廣矩陣Ã
- 只對行做初等變換, 化為階梯形
- 看矩陣和增廣矩陣的秩是否相等,
- r(A):矩陣的秩等於階梯形中虛線左邊非零行的行數
- r(Ã): 增廣矩陣的秩等於虛線右邊非零行的行數
- 當r(A)和r(Ã)相等, 且等於未知量的個數, 有唯一解
- 當r(A)和r(Ã)相等, 且小於未知量各個數, 有無窮解
- 當r(A)和r(Ã)不想等, 則無解
- 化行維階梯形, 不管零行, 非零行的首非零元(1)留在方程的左邊, 其余變量都挪到右邊, 得到一般解的方程組
齊次方程(方程組右邊全是0):
- r(A)=r(Ã)=n有我唯一零解
- r(A)<n, 有非零解
- 方程個數<未知數個數, 有非零解, r(A)≤min{m,n}=m<n
- 方程的個數=未知量個數, 有非零解↔|A|=0↔r(A)<n↔A不可逆
- 只有零解↔|A|≠0↔A可逆↔r(A)=n
- 齊次線性方程組, Ax=0
- η1和η2是Ax=0的解 則η1+η2也是解, A(η1+η2)=Aη1+Aη2+0+0=0
- η是Ax的解, cη也是解, A(Cη)=CAη=C·0=0
- 基礎解系:
- 接觸解解向量線性無關
- 任意解, 可由基礎解表示
非齊次線性方程組:
- Ax = b→Ax=0是導出組
- α1,α2是Ax=b的解, α1-α2是Ax=0的解, A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0
- α0是Ax=b的解, η是Ax=0的解, α0+η是Ax=b的解, 則A(α0+η)=Aα0+Aη=b+0=b
非齊次線性方程組解的結構
- α0是Ax=b的一個解(特解), η是Ax=0的通解, η=c1η1+c2η2 + ...+cn-rηn-r, η1,η2,...ηn-r是Ax=0的基礎解系
- 解齊次方程組的步驟:
- 寫出非齊次方程組, 只對行做基本初等變換, 化作行簡化形
- 非零行的首非零元素的1, 留在左邊, 其余挪到右邊, 寫出非齊次的同解方程組, 指出誰是自由未知量(不在左邊的是自由未知量)
- 令自由未知量均取0, 得Ax=b的一個特解
- 零同解方程組右邊常數項均為0, 得Ax=0的同解方程組,指出誰是自由未知量, 令自由未知量依次取基礎解, 得Ax=0的基礎解系
- 特解+Ax=0的基礎解系的組合