第四章置換群總結

1.1節 置換群的一般性質
1.置換
2）矩陣表示：設原來排在第j位置的客體，經過置換R后排到了第 $r_j$位置（背，非常重要，用這句話才能理解置換矩陣）
3）置換的性質：
2.n個客體置換群Sn
3.輪換和對換
1）輪換：輪換是一類特殊的置換： $n-l$個客體保持不變，余下的 $l$個客體順序變換（背）， $l$稱為輪換長度
2）輪換的性質
2）置換分解為輪換乘積
a.任何一個置換，都可以唯一地分解為沒有公共客體的輪換乘積
b.該置換的輪換結構：把一置換分解為沒有公共客體的輪換乘積時，各輪換長度的集合（背）
c.配分數：把一個正整數n分解為若干個正整數之和，這樣的若干個正整數的集合
d.置換的輪換結構由n的一組配分數來描寫（背）：
e.兩輪換有一個公共客體時乘積的計算方法
f.兩輪換有兩個或多個公共客體時乘積的計算方法
2）互相共軛的兩置換有相同的輪換結構
2）互相共軛的兩置換有相同的輪換結構
3）有相同輪換結構的兩置換必定互相共軛
4）具有相同輪換結構的置換構成置換群 $S_n$的一個類（背）
5）置換的輪換結構由一組配分數來描寫，故置換群的類數、不等價不可約表示的個數都等於整數n分解為不同配分數的數目（背）
2）奇置換、偶置換
4）置換宇稱
6.置換群的生成元
1.2節 楊圖、楊表和楊算符
1.楊圖
1）(背:)一個配分數 $({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m)$標記置換群的一個不等價不可約表示, 記作 $[\lambda ]=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m]$ , 其中
2）楊圖：對配分數 $[\lambda ]=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m]$ , 畫 $m$ 行方格圖，左邊對齊，第一行 含 ${\lambda }_1$ 格，第二行含 ${\lambda }_2$ 格，以此類推，這樣的方格圖稱為配分數 $[\lambda ]$ 對應的楊圖，簡稱楊圖 $[\lambda ]$（背）
每個楊圖都唯一地對應於置換群 $S_n$ 的一個不等價不可約表示（背）
2.楊表
1）楊表：對於給定的楊圖 $[\lambda ]$，把 1 到 $n$ 的 $n$ 個自然數分別填入楊圖的 $n$ 個 格子中，就得到一個楊表（楊盤）（背）
2）正則楊表：從左到右是增加的，從上到下也是增加的（背）
3）維數定理
3.楊算符
1）橫向置換：保持楊表中同一行的數字只在這一行中變動的置換稱為橫向置換，記作 $p$ , 所有橫向置換的集合記作 $R(\lambda )$
2）縱向置換
3）橫算符：所有橫向置換之和稱為給定楊表的橫算符（背，后面的題）
4）縱算符：所有縱向置換乘以各自的置換宇稱后相加，稱為給定楊表的縱算符（背，后面的題）
5）楊算符：橫算符乘以縱算符，稱為給定楊表的楊算符（背，可以計算楊算符）
4.置換群的類-
6.置換群的生成元
1.2節 楊圖、楊表和楊算符
2.楊表
3.楊算符

TOC

1.1節 置換群的一般性質

1.置換

n個客體排列次序的變換稱為置換（背）

2）矩陣表示：設原來排在第j位置的客體，經過置換R后排到了第 $r_j$位置（背，非常重要，用這句話才能理解置換矩陣）

3）置換的性質：

求置換乘積SR的方法（非常非常重要，背，后面一直經常用，只要遇到兩個置換相乘，就可以用）：使R的第二行和S的第一行排列一樣，且順序為1，2，3等
置換的理解：其實應該將其乘 $\left({\phi }_1{\phi }_2{\phi }_3{\phi }_4{\phi }_5\right)$來理解。（背）

2.n個客體置換群Sn

逆元：把置換的上下兩行交換得到的置換是逆置換

3.輪換和對換

1）輪換：輪換是一類特殊的置換： $n-l$個客體保持不變，余下的 $l$個客體順序變換（背）， $l$稱為輪換長度

2）輪換的性質

• 用行矩陣描寫輪換時，數字的排列次序不能改變，但可以順序變換（背）
• 對換：長度為2的輪換稱為對換，對換滿足
  
• 兩個沒有公共客體的輪換，乘積次序可以交換（背）
  

2）置換分解為輪換乘積

a.任何一個置換，都可以唯一地分解為沒有公共客體的輪換乘積

b.該置換的輪換結構：把一置換分解為沒有公共客體的輪換乘積時，各輪換長度的集合（背）

c.配分數：把一個正整數n分解為若干個正整數之和，這樣的若干個正整數的集合

d.置換的輪換結構由n的一組配分數來描寫（背）：

n個客體（重要，背）

e.兩輪換有一個公共客體時乘積的計算方法

• 兩輪換有一個公共客體時，連接（背，重要：特別注意連接的時候，連接的那個元素d依然存在，易錯）：
• 有一個公共客體的兩個輪換的乘積：在每個輪換內部，把公共客體通過順序變換移到最右或最左，然后按上面公式把兩個輪換接起來.
• 把一個輪換分解為有一個公共客體的兩個輪換乘積：在輪換的任意一個位置砍一刀

f.兩輪換有兩個或多個公共客體時乘積的計算方法

5個規則(背，寫題先寫這5個規則）：
（1）一個輪換分解為有一個公共客體的兩個輪換乘積：在輪換的任意一個位置砍一刀
（2）兩輪換有一個公共客體時，連接（背）
（3）用行矩陣描寫輪換時，數字的排列次序不能改變，但可以順序變換
（4）對換滿足：
（5）沒有公共客體的輪換，乘積次序可以交換
$\mathrm{R}$ 置換的上下兩行 $([MathProcessingError]1,2,\cdots ,nc1,c2,\cdots ,cn)$ 同時作 $\mathrm{S}$置換即得 $\mathrm{R}$置換的共軛元素SRS ${}^{-1}$ 。這里 $\mathrm{S}$ 既可以寫成 $([MathProcessingError]1,2,\cdots ,nd1,d2,\cdots ,dn)$ 對 $\mathrm{R}$置換的上面那行操作，也可寫成 $([MathProcessingError]c1,c2,\cdots ,cnf1,f2,\cdots ,fn)$ 對 $\mathrm{R}$置換的下面那行操作。最終的結果是： $([MathProcessingError]d1,d2,\cdots ,dnf1,f2,\cdots ,fn)$

2）互相共軛的兩置換有相同的輪換結構

2）互相共軛的兩置換有相同的輪換結構

3）有相同輪換結構的兩置換必定互相共軛

4）具有相同輪換結構的置換構成置換群 $S_n$的一個類（背）

5）置換的輪換結構由一組配分數來描寫，故置換群的類數、不等價不可約表示的個數都等於整數n分解為不同配分數的數目（背）

2）奇置換、偶置換

長度為奇數的輪換是偶置換，長度為偶數的輪換是奇置換。（背，后面用）

4）置換宇稱

（背）

6.置換群的生成元

• 相鄰客體的對換記作： $P_a=(aa+1)$（背）
• 對n個客體置換群，引入長度為 $n$ 的輪換 $W=(12\cdots n)$（背）
  置換群的生成元是 $W$和 $P_1$ （背）

1.2節 楊圖、楊表和楊算符

1.楊圖

1）(背:)一個配分數 $({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m)$標記置換群的一個不等價不可約表示, 記作 $[\lambda ]=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m]$ , 其中

（配分數中的這些數從大到小排列）
（表明這些數是n的配分數）

2）楊圖：對配分數 $[\lambda ]=[{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m]$ , 畫 $m$ 行方格圖，左邊對齊，第一行 含 ${\lambda }_1$ 格，第二行含 ${\lambda }_2$ 格，以此類推，這樣的方格圖稱為配分數 $[\lambda ]$ 對應的楊圖，簡稱楊圖 $[\lambda ]$（背）

每個楊圖都唯一地對應於置換群 $S_n$ 的一個不等價不可約表示（背）

2.楊表

1）楊表：對於給定的楊圖 $[\lambda ]$，把 1 到 $n$ 的 $n$ 個自然數分別填入楊圖的 $n$ 個 格子中，就得到一個楊表（楊盤）（背）

2）正則楊表：從左到右是增加的，從上到下也是增加的（背）

3）維數定理

鈎形數規則：楊圖 [ $\lambda$ ] 對應的不可約表示的維數是：n的階乘除以鈎形數相乘（背）：

• 鈎形數楊表：將楊圖 $[\lambda ]$中每格的鈎形數 $h_{ij}$ 填入該楊圖（背）

3.楊算符

1）橫向置換：保持楊表中同一行的數字只在這一行中變動的置換稱為橫向置換，記作 $p$ , 所有橫向置換的集合記作 $R(\lambda )$

所有可能的橫向置換構成的集合就是直乘群 $R(\lambda )$（背）

2）縱向置換

3）橫算符：所有橫向置換之和稱為給定楊表的橫算符（背，后面的題）

就是將直乘群R(λ)中的所有元素加起來。

4）縱算符：所有縱向置換乘以各自的置換宇稱后相加，稱為給定楊表的縱算符（背，后面的題）

置換宇稱（背）：長度為奇數的置換是偶置換，長度為偶數的置換是奇置換，

給定楊表橫算符的寫法：先把每一行的所有橫向置換加起來，再把不同行的（橫向置換之和）乘起來。（背，重要）
給定楊表縱算符的寫法：先把每一列的所有縱向置換乘上各自的置換宇稱后加起來，再把不同列的縱向置換之代數和乘起來。（背，重要）

5）楊算符：橫算符乘以縱算符，稱為給定楊表的楊算符（背，可以計算楊算符）

注意置換宇稱是縱置換q的置換宇稱，與橫置換無關。

楊算符定義：橫算符乘以縱算符，
背：求楊算符的方法：三部曲：
（1）給定楊表橫算符的寫法：先把每一行的所有橫向置換加起來，再把不同行的橫向置換之和乘起來。
第一行所有橫置換加起來：
第二行所有橫置換是E，
不同行的橫向置換之和乘起來等於：，這就是橫算符。
（2）給定楊表縱算符的寫法：先把每一列的所有縱向置換乘上各自的置換宇稱后加起來，再把不同列的縱向置換之代數和乘起來。
第一列所有縱向置換乘上各自的置換宇稱后加起來：（特別注意記住還有恆元，易錯）
第二列所有縱置換是E，
不同列的縱向置換之代數和乘起來得到，這就是縱算符。
（3）根據楊算符定義：橫算符乘以縱算符，即得楊算符。（特別注意記住必須橫算符在前乘以縱算符，易錯。因為兩個有相鄰客體的輪換乘積時，乘積次序不能調換。只有沒用公共客體時，乘積次序可交換。）

4.置換群的類-

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6.置換群的生成元

1.2節 楊圖、楊表和楊算符

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2.楊表

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• 楊圖 [ λ] 對應的不可約表示的維數是：n的階乘除以鈎形數相乘（背）：
  
  

3.楊算符

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