群論第四章置換群（2），一些內容較難，也沒完全懂，若需要用，則以后再看馬書、北大群論書，馬書寫得比ppt內容更多

因為楊算符是群代數本質的原始冪等元，故群代數左乘到楊算符上得到最小左理想。
一個楊圖標記一個不可約表示，一個楊圖可以有一些楊表，每個楊表都可以寫出一個楊算符，因為楊算符就是本質的原始冪等元，故得到一個原始冪等元，所以可以從任何一個楊表出發，得到這個楊圖對應的不可約表示。同一楊圖的不同正則楊表給出的表示是等價的（因為這些原始冪等元是等價的），不同楊圖給出的表示是不等價的。
第三章講過，等價的原始冪等元不一定正交；不等價的原始冪等元一定正交。
對置換群來說，數學家證明了，n小於等於4時，同一楊圖的不同正則楊表對應的楊算符（它們是等價的原始冪等元）是正交的；n≥5時會出現同一楊圖的不同正則楊表對應的楊算符（它們是等價的原始冪等元）可能不正交的情況。
n小於等於4時，將每一個楊圖的每一個楊表都寫出來，可以得到對應的楊算符，所有這些楊算符是正交的，是完備的。故可以將群代數作一個完全的直和分解，或者說將一個正則表示完全約化成不等價不可約表示的直和。
但n大於等於5時，因為一個楊圖對應一些正則楊表，這些正則楊表對應的楊算符不一定正交，此時不能用上面n小於等於4時的這種方法進行完全的直和分解。第三章說了，對一個群代數作完全的直和分解等價於要找正交完備的原始冪等元。現在原始冪等元不是正交的，故我們需要將其正交化，這樣群代數就可以作完全的直和分解。正交化的過程馬老師的書有。但我們這里跳過去，因為我們的目標是找置換群的所有不等價不可約表示，找到了所有的不等價不可約表示，就能根據第三章“將可約表示約化為不可約表示”的方法來將表示約化。再通過相似變換來得到正交表示。
故現在我們關注找置換群的所有不等價不可約表示。

怎么找置換群的所有不等價不可約表示(背）（這樣求出來的表示稱為置換群的不可約標准表示）：

（1）對置換群的所有的楊圖，每一個楊圖隨便挑一個正則楊表，寫出其楊算符，
（2）根據鈎形數規則求出此楊圖對應的不可約表示的維數。
（3）用群代數去投影，得到最小左理想 $L (S_{n}) y$ ，它會荷載一個不可約表示；
（4）任選最小左理想中一組線性獨立的矢量為基（馬書有寫挑出線性獨立的矢量基的方法，但是不具有普遍性，老師說不用這些方法也能慢慢找到線性獨立的基，所以他不講馬書中的方法），根據 $P_{R} ψ_{μ} (x) = \sum_{v} ψ_{v} (x) D_{v μ} (R)$ 求出其荷載的不可約表示；對每一個楊圖這樣算，就得到了置換群所有的不等價不可約表示（特別注意先求置換群生成元的表示矩陣）。

本來是本質的原始冪等元，乘一個東西后就是原始冪等元。
例：Sn群的楊圖[ $λ$ ]=[n]確定的不可約表示
不等價不可約表示的數目等於整數n分解為不同配分數的數目。
（1）對楊圖，該楊圖只有一個正則楊表，該楊表的楊算符為

（2）根據鈎形數規則知，維數為1

故楊圖[n]對應Sn群的一維恆等表示，即一行的楊圖對應一維恆等表示（背），也稱這個一維恆等表示是全對稱表示，因為將一個對換乘上去，對換不改變符號，波函數不改變符號。
例2： $S_{n}$ 群的楊圖 $[1^{n}]$ 確定的不可約表示
該楊圖只有一個正則楊表

該楊表的楊算符為

（2）根據鈎形數規則知，維數為1
（3）用群代數去投影，得到最小左理想，根據維數定理求出此不可約表示的維數
對任意 $t \in S_{n}$ , 有

群代數中每個元素乘楊算符等於宇稱乘楊算符，故說明此最小左理想是一維的，可以取基 $ψ_{μ}$ 為 $y$
（4）根據 $P_{R} ψ_{μ} (x) = \sum_{v} ψ_{v} (x) D_{v μ} (R)$ 求出其荷載的不可約表示

一維全反對稱表示：一維，且每個元素表示矩陣是其置換宇稱。（背）
故楊圖 $[1^{n}]$ 對應 $S_{n}$ 群的一維全反對稱表示，即一列的楊圖對應一維全反對稱表示.（背）
此表示稱為一維全反對稱表示的原因：
因為任何一個對換，其置換宇稱是-1，任何兩個客體（兩個粒子），對換乘在上面，等於負的這個東西，即波函數有一個負號（量子力學中就說這個是反對稱波函數），故說這個表示是一維全反對稱表示。

例3 $： S_{3}$ 群的不可約標准表示
楊圖 [3] 對應一維恆等表示; 楊圖 $[1^{3}]$ 對應一維全反對稱表示 ; 楊圖 [2,1] 有兩個正則楊表，它們給出兩個等價的二維不可約表示
以楊圖 [2,1] 的其中一個正則楊表為例 :

（1）楊算符

（2）根據鈎形數規則知道，楊圖 [2,1] 對應的不可約表示是二維的。
（3）用群代數去投影，得到最小左理想

群代數中每個元素乘楊算符等於某兩個矢量的線性組合，故說明此最小左理想是二維的，在
這6個中隨便挑兩個線性無關的作為基，就會得到一個不可約表示。可以取基 $ψ_{μ}$ 為 $y_{1}^{[2, 1]}$ 和 $(13) y_{1}^{[2, 1]}$ （其實取其他的作為基也行，只要是線性無關的），原因是：
根據
、它們的線性組合會構成群代數中的任何一個矢量，而乘楊算符后，是最小左理想中的任何一個矢量，這個矢量顯然可以由 $y_{1}^{[2, 1]}$ 和 $(13) y_{1}^{[2, 1]}$ 作為基來構成，且可以判斷這兩個是線性無關的。
（4）任選最小左理想中一組線性獨立的矢量為基，根據 $P_{R} ψ_{μ} (x) = \sum_{v} ψ_{v} (x) D_{v μ} (R)$ 求出其荷載的不可約表示（注意先求置換群生成元的表示矩陣）
根據前面置換群的生成元一節知道生成元為(1 2)、（1 2 3）

根據 $P_{R} ψ_{μ} (x) = \sum_{v} ψ_{v} (x) D_{v μ} (R)$ 可以算得：

其它表示矩陣就可以用矩陣乘法得到。
以上的表示稱為標准表示。
將以上的標准表示進行相似變換可以得到不可約正交表示。但還有另一種直接得到不可約正交表示的方法，即1.4節將要介紹的方法：

1.4節置換群的不可約正交表示

1. 不可約表示按子群鏈的分解

1）分支律

分支律: $S_{n}$ 群的不可約表示 $[λ]$ 對它的子群 $S_{n - 1}$ 來說，是能構成一個分導表示，（背）

S_{n}群的不可約表示對子群來說是表示，這就是分導表示

這個分導表示一般是可約的，要將此可約的分導表示向子群 $S_{n - 1}$ 的不可約表示約化，就會問 $S_{n - 1}$ 的哪些不可約表示會出現，會出現幾次。分支律告訴我們，從 $S_{n}$ 不可約表示對應的楊圖 $[λ]$ 按所有可能的方式去掉一個方格后所剩下的如果仍是正則楊圖 [ $λ^{'}$ ]，則剩下的這個楊圖對應的就是分導表示（即 $[λ]$ 作為 $S_{n - 1}$ 群的表示）在進行約化時可能出現的不可約表示[ $λ^{'}$ ]，且每個不可約表示[ $λ^{'}$ ]只出現一次。（背）
對置換群來說，這種將可約表示約化成不可約表示的方法比第三章的方法“將可約表示約化為不可約表示”更簡單。

不證明分支律。

例

例如， $S_{5}$ 群的不可約表示 $[2^{2}, 1]$ 中包含 $S_{4}$ 群的不可約表示 $[2^{2}]$ 和 $[2, 1^{2}]$ 各一次
根據維數定理鈎形數規則：

知道維數：

即 $[2^{2}, 1]$ 是 $S_{5}$ 的5維不可約表示，對它的子群 $S_{4}$ 來說，是能構成一個分導表示，這個分導表示是 $S_{4}$ 的5維可約的，要向 $S_{4}$ 群的不可約表示約化.

分支律告訴我們，從 $S_{n}$ 不可約表示對應的楊圖 $[λ]$ 按所有可能的方式去掉一個方格后所剩下的如果仍是正則楊圖 [ $λ^{'}$ ]，則剩下的這個楊圖對應的就是分導表示（即 $[λ]$ 作為 $S_{n - 1}$ 群的表示）在進行約化時可能出現的不可約表示[ $λ^{'}$ ]，且每個不可約表示[ $λ^{'}$ ]只出現一次。

故圖中兩個對應的就是分導表示在進行約化時可能出現的不可約表示，且每個不可約表示只出現一次。
即 $S_{4}$ 的5維可約表示約化為 $S_{4}$ 的2維不可約表示和3維不可約表示的直和。

因為開始時荷載可約表示的5個基是可以隨便選的，所以可以開始就選 $φ_{1}, φ_{2}, φ_{3}, φ_{4}, φ_{5}$ ，則5維可約表示就是2維不可約表示和3維不可約表示的直和，即

本來應該相似變換才能化為這個已約表示的形式，現在不用再相似變換。
$φ_{1}, φ_{2}$ 荷載的是2維不可約表示， $φ_{1}, φ_{2}$ 其實是可以任意線性組合的； $φ_{3}, φ_{4}, φ_{5}$ 荷載3維不可約表示，則 $φ_{3}, φ_{4}, φ_{5}$ 是可以任意線性組合的，不影響上面 $S_{4}$ 的5維可約表示塊對角的形式

證明：

荷載2維不可約表示的基 $φ_{1}, φ_{2}$ 和荷載3維不可約表示的基 $φ_{3}, φ_{4}, φ_{5}$ ，因為它們屬於不同的空間，故兩組基之間是正交的。

因為上面已經證明了，將 $φ_{3}, φ_{4}, φ_{5}$ 基任意線性組合，不影響上面 $S_{4}$ 的5維可約表示塊對角的形式。故可以將下面所說的分導表示(即 $S_{3}$ 的3維可約表示）繼續進行約化。
$S_{4}$ 群的3維不可約表示 $[2, 1^{2}]$ 對它的子群 $S_{3}$ 來說，是能構成一個分導表示，它是可約的，即 $S_{3}$ 的3維可約表示，將其向 $S_{3}$ 的不可約表示約化，
，根據鈎形數規則知道這個兩個分別是2維和1維的，即約化成二維不可約表示和一維不可約表示。

因為開始時荷載可約表示的3個基是可以隨便選的，所以可以開始就選 $ϕ_{1}, ϕ_{2}, ϕ_{3},$ ，則3維可約表示就是2維不可約表示和1維不可約表示的直和，即本來應該相似變換才能化為這個已約表示的形式，現在不用再相似變換。
$ϕ_{1}, ϕ_{2}$ 荷載的是2維不可約表示， $ϕ_{1}, ϕ_{2}$ 其實是可以任意線性組合的； $ϕ_{3}$ 荷載1維不可約表示，則 $ϕ_{3}, ϕ_{4}, ϕ_{5}$ 是可以任意線性組合的，不影響上面 $S_{3}$ 的3維可約表示塊對角的形式。

此時，

$S_{3}$ 群的2維不可約表示 $[2, 1^{2}]$ 對它的子群 $S_{2}$ 來說，是能構成一個分導表示，它是可約的，即 $S_{2}$ 的2維可約表示，將其向 $S_{2}$ 的不可約表示約化，約化成 $S_{2}$ 的1維全對稱不可約表示和1維全反對稱不可約表示。
最后，化為維數5=1+1+1+1+1的形式，這些不可約表示的基屬於不同的空間，故5組基之間是正交的。稱為正交基

2）實正交表示

根據上面的例題知道，對子群鏈 $S_{n} \supset S_{n - 1} \supset S_{n - 2} \supset \dots \supset S_{n - i}$ 中的置換，適當選擇基后，前一個群的不可約表示矩陣依次是后一個子群的不可約表示矩陣的直和。
荷載子群鏈 $S_{n} \supset S_{n - 1} \supset S_{n - 2} \supset \dots \supset S_{2}$ 中所有子群的不可約表示的基互相正交，由它們得到的表示稱為置換群的實正交表示。

3）用正則楊表標記正交基: 從 $S_{n}$ 的正則楊表中去掉填 $n$ 的格子, 仍是正則楊表,它可以用來標識 $S_{n - 1}$ 不可約表示的基（背） ; 依次分解下去，楊表會逐步縮小，楊表逐步縮小的過程反映出置換群表示逐步按子群表示分解的過程, 也確定了基函數按子群鏈的分類。

這樣就能將基表示清楚。
比如
根據前面的例題知道下面這些含義：
是荷載（S4的2維不可約表示）的兩個基.

根據前面的分支律知道，去掉一個格子后的楊圖對應的是Sn-1群的不可約表示，而根據維數定理知，這個楊圖對應的正則楊表的個數=這個楊圖對應的不可約表示的維數=基的個數，故用正則楊表來標記基

是荷載S4的3維不可約表示的基。
是荷載S3的2維不可約表示的兩個基。
是荷載（S3的另外一個2維不可約表示）的兩個基。
是荷載S3的一個一維不可約表示的一個基。
...
這些只是標記，並沒有真正得到基的具體形式。

2.不可約正交表示的具體形式

1）

任一置換都可以分解為無公共客體的輪換的乘積，任一輪換都可以分解為對換的乘積，任一對換都可以分解為相鄰客體的對換的乘積
只要知道了相鄰客體的對換 $(k - 1 k)$ 的表示矩陣，就可以由乘法求得 $S_{n}$ 群的任意元素的表示矩陣

2）用 $| y_{r}^{[λ]} ⟩$ 表示荷載正交表示 [ $λ$ ] 的基

用 $y_{r}^{[λ]}$ 表示（不可約表示 $[λ]$ ）的第 $r$ 個正則楊表 ,

因為這個不可約表示是用楊圖來標記的，這個楊圖有一些正則楊表，r表示其第r個正則楊表。
一個楊表對應一個楊算符

用 $| y_{r}^{[λ]} ⟩$ 表示荷載正交表示 [ $λ$ ] 的基
例：S5的[2²，1]對應的不可約表示，其楊圖有5個楊表，用
加上狄拉克符號后，來表示荷載[2²，1]正交表示的5個基。

3） $k - 1$ 到 $k$ 的軸距

$k - 1$ 到 $k$ 的軸距：正則楊表 $y_{r}^{[λ]}$ 中，從填 $k - 1$ 的格子到填 $k$ 的格子, 向左或向下數一個方格為 -1，向右或向上數一個方格為 +1，這樣數出的代數和 $μ$ 稱為數字 $k - 1$ 到 $k$ 的軸距

4）對換作用於正則楊表

若 $k - 1$ 和 $k$ 不在正則楊表 $y_{r}^{[λ]}$ 的同一行或同一列，則對換 $(k - 1 k)$ 把正則楊表 $Y_{r}^{[λ]}$ 變為正則楊表 $Y_{s}^{[λ]}$ ：

注意的含義是將楊表中的k-1和k對換一下，得到新的楊表。

5）對換 $(k - 1 k)$ 在正交表示中的表示矩陣（即基是正交基時的表示矩陣，前面已經說了每一個正交基用（一個正則楊表加一個狄拉克符號）來標記）

(1) 當 $k - 1$ 和 $k$ 在楊表 $y_{r}^{[λ]}$ 的同一行或同一列

$μ$ 是軸距。

注意先根據鈎形數規則求出楊圖對應的不可約表示的維數，然后就可以得到表示矩陣。

相鄰客體如果在正則楊表同一行，則它們一定是相鄰的，軸距一定是1，故對換作用於基 $| y_{r}^{[λ ∣} ⟩$ 得到+1， $(k - 1 k) | y_{r}^{[λ]} ⟩ = | y_{r}^{[λ ∣} ⟩$ ，故稱為對稱。
相鄰客體如果在正則楊表同一列，則它們一定是相鄰的，軸距一定是-1， $(k - 1 k) | y_{r}^{[λ]} ⟩ = - | y_{r}^{[λ ∣} ⟩$ ，故稱為反對稱。
(2) 當 $k - 1$ 和 $k$ 不在楊表 $y_{r}^{[λ]}$ 的同一行或同一列
$(k - 1 k) | y_{r}^{[λ]} ⟩ = \frac{1}{μ} | y_{r}^{[λ]} ⟩ + \sqrt{1 - (\frac{1}{μ})^{2}} | y_{s}^{[λ]} ⟩$

不證明。

例：求S3群的實正交表示的表示矩陣：

注意一行的楊圖，根據鈎形數規則知道其不可約表示矩陣是一維的。
根據公式（1）知道。因為此楊圖[3]對應的表示矩陣是一維的，故 $D^{[3]} (12) = 1$
一列的楊圖，根據鈎形數規則知道其不可約表示矩陣是1維的，故 $D^{[1^{3}]} (12) = - 1$
根據前前面的例題知道，
是荷載S3的二維不可約表示的兩個基。故可以知道表示矩陣：
。

其它元素的表示矩陣可由乘法給出：

這樣就求出了S3群的不可約正交表示中的所有元素的表示矩陣。
可以驗證這個不可約正交表示中的表示矩陣和1.3節求出來的不可約標准表示差一個相似變換。

3.不可約表示的基函數：通過投影算符的方法得到。（此節內容重要，我覺得可能在凝聚態中有用，這節內容能告訴我們波函數（基）在置換后變成了什么，是否有什么對稱性）

有了不可約正交表示的表示矩陣，可得投影算符：

它作用在有置換變量的函數上，可得具有指定對稱性[λ]的波函數：
設 $n$ 粒子系統的波函數為 $ϕ (1, 2, \dots, n)$ , 其中 $1, 2, \dots, n$ 為粒子的坐標，則具有對稱性 $[λ]$ 的 $d_{[λ]}$ 個波函數為 :

這樣得到的是荷載不可約表示 $[λ]$ 的第 $r$ 列的函數（其實是一個基）。
這里所說的波函數其實就是荷載不可約表示的基，根據投影算符性質1：

可以理解上面公式。
再根據，就能得到荷載這個不可約表示[λ]的全部基矢量。因為這些基荷載這個不可約表示[λ]，所以我們稱這些基具有對稱性[λ]。

但為什么稱這些基具有對稱性[λ]？老師沒說，但見下面的例題就能知道原因。

例：由組態 $ϕ = u d s$ 構造 $S_{3}$ 群 [3]這個恆等表示的基

有3個客體，其中一個是u,一個是d,一個是s，但不知道哪個是u,哪個是d,哪個是s，但沒關系，只要知道其中有一個是u,一個是d,一個是s，就可以用投影算符投影出確定的不可約表示確定列的函數，比如S3群一維恆等表示[3]，其投影算符：

將其作用於 $ϕ$ ：

根據投影算符性質1：
知道，因為此結果不是零，故它是這個不可約表示第一列的函數，但因為是一維表示，故基只有一個，即這個就是荷載一維恆等表示[3]的基，或者說它具有[3]這種對稱性，就是全對稱， $ψ^{[3]}$ 就是所要求的全對稱的波函數

說是全對稱波函數的原因是：因為根據這是一維表示和 $P_{R} ψ_{μ} (x) = \sum_{v} ψ_{v} (x) D_{v μ} (R)$ 知道，S3群中的任何一個元素（即任何一個置換）作用於 $ψ^{[3]}$ 都等於 $ψ^{[3]}$ ，故是全對稱，也可以驗證，比如將(1 2)作用於 $ψ^{[3]}$ ，就是將第一個客體和第二個客體交換，確實還是 $ψ^{[3]}$ 。

粒子物理中，它就是Σ*的味道波函數。u、d、s是誇克的味道波函數。

根據鈎形數規則知，是2維。
表示矩陣是2維，但根據投影算符公式可以寫出4個投影算符：

根據投影算符性質1知道，前兩個波函數是荷載二維不可約表示[2,1]的基，即前兩個有[2,1]這個對稱性；后兩個波函數是具有其他的對稱性，老師沒有說這個其他的對稱性是什么。
附：

八重態就是它是荷載SO(3)群的八維表示的八個基。
的含義是基用楊表標記。

這些基中關於對換（1 2）是對稱的，則用 $λ$ 標記（），關於（1 2）反對稱則用 $ρ$ 標記。

重要：

只要告訴我們這些重子
的組態，比如uus等，用楊算符一投影就能得到荷載不可約表示[2,1]的基，根據 $P_{R} ψ_{μ} (x) = \sum_{v} ψ_{v} (x) D_{v μ} (R)$ 就能知道這些基（波函數）在置換后變成了什么。（我覺得此方法在凝聚態中可能也有用）
重子八重態的自旋波函數：

1.3節置換群不可約表示的內積和外積

1.置換群不可約表示的內積（此節的重要意義是：置換群的兩個不可約表示直乘，一定得到一個表示，這個直乘表示向不可約表示約化的結果可以利用此節的公式就直接得到，或者可以得到一部分結果（比如知道約化后一定有反對稱表示等。），內積的物理意義是和CG系數有關。

內積：置換群不可約表示的直乘稱為兩不可約表示的內積（背）；直乘分解的CG級數可以按特征標方法計算

以前第三章已經證明，兩個不可約表示直乘，一定得到一個表示，如果參與直乘的表示中一個是一維的，則一定得到的是一個不可約表示。但通常來說，兩個不可約表示直乘，得到的是一個可約表示，要將其向不可約表示約化，需要對基相似變換。相似變換的矩陣元就是CG系數。將可約表示約化為不可約表示的直和，則稱為CG級數。

考慮到置換群的不可約表示是實表示，特征標是實數，有:
直乘后的特征標等於原來特征標相乘：
某個不可約表示[ν]的重數：（2）
各種不可約表示 $[λ] 、 [μ] 、 [ν]$ 中任何兩個直乘，再約化，根據（2）式知道，得到的重數都是一樣的。即：
$a_{λ μ ν}$ 對三個指標完全對稱。

前面已經證明，一行的楊圖對應恆等表示; 一列的楊圖對應反對稱表示, 每個元素在此反對稱表示中的表示矩陣即為該元素的置換宇稱
可以證明，互相對偶的楊圖對應的表示維數相等，每個類在這兩個表示中的特征標只相差類中元素的置換宇稱

根據正則楊表的定義（從上到下增加，從左到右增加）知道，一個正則楊表在對偶（即沿對角線翻一下）后還是正則楊表。故楊圖的正則楊表的個數和其對偶楊圖的正則楊表的個數相同，故根據維數定理知道，互相對偶的楊圖對應的表示維數相等，得證。
”每個類在這兩個表示中的特征標只相差類中元素的置換宇稱“證明：特征標只需要考慮對角元，對於對換來說，對角元是 $\frac{1}{μ}$ ， $μ$ 是軸距，...對於置換來說，可以證明差一個置換宇稱，沒時間，以后證。
任一楊圖對應的表示與反對稱表示的直乘等價於該楊圖的對偶楊圖對應的表示

$\begin{matrix} (1) & [λ] \otimes [1^{n}] ≃ [\tilde{λ}] \end{matrix}$

證明：判斷等價就是判斷特征標對應相等，在 $[1^{n}]$ 中的特征標是置換宇稱，故根據“互相對偶的楊圖對應的表示維數相等，每個類在這兩個表示中的特征標只相差類中元素的置換宇稱”知道，以上公式兩邊的特征標確實對應相等得證。
考慮到 $a_{λ μ v}$ 對三個指標對稱，可得
恆等表示直乘任何一個表示還是這個表示：
等價關系：

可以通過特征標對應相等和前面說的性質來證明。
在 $[λ] \otimes [μ]$ 的分解中, 出現恆等表示的充要條件是 $[λ] ≃ [μ]$ , 出現反對稱表示的充要條件是 $[λ] ≃ [\tilde{μ}]$ , 且在此條件下, 恆等表示或反對稱表示只出現一次

怎么證？老師沒說清楚，以后再說

例 $: S_{3}$ 群不可約表示直乘分解的 $C G$ 級數為

直乘分解本質上就是相似變換。故上面這個公式就是兩個不可約表示[3]、[3]直乘分解。

根據前面性質中的公式就可以得到這個公式，這個公式就驗證了上面的性質:出現恆等表示[3]的充要條件是 $[λ] ≃ [μ]$ .

最后這個直乘分解公式的證明：根據“在 $[λ] \otimes [μ]$ 的分解中, 出現恆等表示的充要條件是 $[λ] ≃ [μ]$ , 出現反對稱表示的充要條件是 $[λ] ≃ [\tilde{μ}]$ , 且在此條件下, 恆等表示或反對稱表示只出現一次”知道，直乘分解的結果中一定有恆等表示[3]和反對稱表示[1³]，

。得證。

沒聽懂，因為沒學第三章CG系數，故以后再說

有兩個自由度：自旋和味道，既不對稱，也不反對稱，但它們拼起來以后，需要總的是全對稱的，如果沒學群論就很難求，但學了群論，就能簡單地寫出，因為需要寫一個全對稱的，所以讓一個自旋混合對稱的和一個味道混合對稱的直積，就能得到，原因是看其CG系數就知道了。

我以后再學第三章CG系數，故這里不懂。以后再說

2.置換群不可約表示的外積

1）

在 $n + m$ 個客體的置換群 $S_{n + m}$ 中，前 $n$ 個客體的置換群記為 $S_{n}$ , 后 $m$ 個客體的置換群記為 $S_{m}$ .
$S_{n}$ 和 $S_{m}$ 都是 $S_{n + m}$ 的子群，兩子群 $S_{n}$ 和 $S_{m}$ 只有恆元這一個公共元素 ; 分屬這兩子群的元素涉及不同的客體, 可互相對易.
故根據直乘群的定義知道，兩子群 $S_{n} \otimes S_{m}$ 的直乘是構成直乘群，這個直乘群是群 $S_{n + m}$ 的子群，子群指數 $N$ 為
子群的某個左陪集記為 $T_{a} (S_{n} \otimes S_{m})$ , 其中置換 $T_{a}$ 一定不是直乘群中的元素， $T_{a} \in S_{n + m}$ 把前 $n$ 個客體移到 $n + m$ 個位置中的 $n$ 個新位置（含義就是 $T_{a}$ 不是直乘群中的元素）.
置換群 $S_{n + m}$ 的群代數記為 $L$ , 維數為 $(n + m)!$ , 子群的群代數記為 $L^{n m}$ , 維數為 $n! m!$ , 子群的左陪集對應的子空間為 $T_{a} L^{n m}$ （陪集對應的不可能是子代數，因為它如果是子代數就滿足兩個相乘滿足封閉性，可以證明它不滿足封閉性，故陪集對應的只是子空間。子代數的概念在冪等元一節，我還沒學） , 於是
群代數可以分解為：一個子代數直和一個子空間，直和一個子空間...
（1）

2）

設楊圖 $[λ]$ ， $[μ]$ 和 $[ω]$ 分別是 $n$ 格 $, m$ 格和 $n + m$ 格的，它們分別標記 $S_{n}$ 群， $S_{m}$ 群和 $S_{n + m}$ 群的不可約表示.
群 $S_{n + m}$ 的群代數 $L$ 中的原始冪等元記為 $e^{[ω]}$ , 它生成的最小左理想是 $L^{∣ ω]} = L e^{[ω]}$ , 對應的不可約表示 $D^{[ω]} (S_{n + m}) \equiv [ω]$ （0），維數為 $d_{[ω]}$
特別注意群代數 $L$ 荷載的是 $S_{n + m}$ 群的可約表示，而 $L^{∣ ω]}$ 才是荷載的 $S_{n + m}$ 群的不可約表示.

最小左理想=群代數乘以原始冪等元
直乘群 $S_{n} \otimes S_{m}$ 的群代數 $L^{n m}$ 中的原始冪等元記為 $e^{[λ] [μ]}$ , 它生成的關於 $L^{n m}$ 的最小左理想是 $L^{[λ] ∣ μ]} = L^{n m} e^{[λ] ∣ μ]}$ , 對應直乘群 $S_{n} \otimes S_{m}$ 的不可約表示為 $D^{[λ]} (S_{n}) \otimes D^{[μ]} (S_{m}) \equiv D^{[λ] \otimes [μ]} (S_{n} \otimes S_{m})$ （3）, 維數是 $d_{[λ]} d_{[μ]}$

$D^{[λ]} (S_{n}) \otimes D^{[μ]} (S_{m}) \equiv D^{[λ] \otimes [μ]} (S_{n} \otimes S_{m})$ 是因為第三章講過，“3) 定理三：若有限群 $G$ 等於兩子群的直乘 $, G = H_{1} \otimes H_{2}$ , 則群 $G$ 的不等價不可約表示都可表示為兩子群 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 不等價不可約表示的直乘.”.
對於 $S_{n + m}$ 群的群代數 $L, e^{[λ] [μ]}$ 是冪等元，但一般不是原始冪等元 , $L^{[λ] [μ]}$ 是群代數 $L$ 的子代數，但不是群代數 $L$ 的左理想

因為冪等元的意思是其平方等於它自己，故 $e^{[λ] [μ]}$ 對 $L$ 來說也是冪等元.它對子群（直乘群）來說是原始冪等元，就意味着向子群的群代數投影會得到一個最小左理想，而對 $S_{n + m}$ 群來說，向其群代數投影，一般來說不是最小左理想
" $L^{[λ] [μ]}$ 是群代數 $L$ 的子代數，但不是群代數 $L$ 的左理想"的證明：
因為
，將作用於子群表示空間的基，就將表示空間擴大了，擴大成維度的了，其中n是子群的指數。這樣得到的是誘導表示，這個誘導表示是可約表示，應向不可約表示約化。
根據第三章誘導表示中：

知道，子群的不可約表示的個基不能荷載大群的表示，擴充了以后才能荷載大群的表示，這個基構成的群代數 $L^{[λ] [μ]}$ 不一定是群代數 $L$ 對左乘 $S_{n + m}$ 群的群元素這個運算來說的不變子代數（可以舉一些例子來說明，沒時間），即 $L^{[λ] [μ]}$ 不是左理想，因為要將這個基擴充，才能荷載 $S_{n + m}$ 群的表示，才能說是對左乘 $S_{n + m}$ 群的群元素這個運算來說的是不變的，在不擴充的情況下，對這個運算來說是變的，故這個基構成的群代數 $L^{[λ] [μ]}$ 不一定是群代數 $L$ 對左乘 $S_{n + m}$ 群的群元素這個運算來說的不變子代數。得證， $L^{[λ] [μ]}$ 是群代數 $L$ 的子代數，但不是群代數 $L$ 的左理想。
復習：
用 $L$ 左乘冪等元 $e^{[λ] [μ]}$ , 就把子代數 $L^{∣ λ] ∣ μ]}$ 擴充成了 $L$ 的左理想。
解釋：之前已經證明了： $L^{[λ] [μ]}$ 是群代數 $L$ 的子代數，但不是群代數 $L$ 的左理想。故需要擴充，擴充的方法就是：利用（1）式，有：
（2）
可以證明 $L_{λ μ}$ 是 $L$ 的左理想，即它對左乘 $S_{n + m}$ 群的所有群元素是不變的（見馬書第二版209頁對左理想的定義就是這么說的，但為什么這樣定義左理想和不變子代數？不知道，我還沒學冪等元這一節，以后再聽課），故會有一個式子： $P_{R} ψ_{μ} (x) = \sum_{v} ψ_{v} (x) D_{v μ} (R)$ ，故會有一個關於群 $S_{n + m}$ 的誘導表示（即此左理想荷載這個誘導表示），記為 $D^{[λ] ⊙ [μ]} (S_{n + m}) \equiv [λ] ⊙ [μ]$ .（4）

（2）式的求和中的每一項 $T_{a} L^{[λ] [μ]}$ 都是 $d_{[λ]} d_{[μ]}$ 維的，且不同項不包含公共矢量, 故誘導表示的維數為：（背：子群的維數（這里就是直乘群的維數）乘以子群的指數就是誘導表示的維數）

可以直和，故就說明“不同項不包含公共矢量”

3）外積

子群 $S_{n} \otimes S_{m}$ 的不可約表示 $D^{[λ] \otimes [μ]} (S_{n} \otimes S_{m})$ （見前面的（3）式）, 關於群 $S_{n + m}$ 的誘導表示 $[λ] ⊙ [μ]$ （見前面的（4）式）, 稱為兩表示的外積。

區分：非常重要，內積和外積的本質：

內積：內積是：同一個群有好幾個不等價不可約表示，兩個不等價不可約表示的直乘就是內積。
外積： $S_{n}$ 有一個不可約表示， $S_{m}$ 有一個不可約表示，將這兩個不可約表示直乘起來，根據第三章新表示的構成一節中的定理知道，會得到 $S_{n} \otimes S_{m}$ 這個直乘群的不可約表示，這個不可約表示是 $S_{n + m}$ 的子群的不可約表示，要將其表示空間擴充，得到 $S_{n + m}$ 的誘導表示，這個誘導表示就稱為 $S_{n}$ 的一個不可約表示與 $S_{m}$ 的一個不可約表示的外積。

這里所說的誘導表示和第三章的誘導表示的區別：第三章說的是子群有一個不可約表示，然后得到一個大群的表示，就是誘導表示，而這里還說這個子群是另外兩個子群直乘得到的。

左理想 $L_{λ μ}$ 一般不是 $L$ 的最小左理想，對應的誘導表示 $[λ] ⊙ [μ]$ 一般是群 $S_{n + m}$ 的可約表示, 可以按群 $S_{n + m}$ 的不可約表示 $[ω]$ 分解：

表示的重數可由特征標公式計算：

維數關系：

4）內積和外積的物理應用(重要）

內積的應用：
這個多粒子系統，我們所關心的粒子的數目不變，但是不同自由度之間需要用到內積。和CG系數有關
（老師沒具體說，以后自己學）
外積應用舉例：兩孤立原子，分別含 $n$ 和 $m$ 個電子，在每個原子內部,電子可交換, 故兩原子中的電子的狀態波函數分別按 $S_{n}$ 和 $S_{m}$ 群的不可約表示分類, 當兩原子靠近形成分子時, 所有 $n + m$ 個電子都可交換，分子中電子的狀態波函數按 $S_{n + m}$ 群的不可約表示分類。這種情況時就要用到外積。
前面n個電子具有 $S_{n}$ 的某個不可約表示標記的對稱性，后面m個電子具有 $S_{m}$ 的某個不可約表示標記的對稱性，則形成分子后的對稱性就是兩個不可約表示的外積進行約化，然后就能得到形成分子后的對稱性。
老師沒有具體說這個例子，以后自己學。

波函數按不可約表示分類，這個重要的物理應用見第三章，我沒學，以后再說。

下面這個例子沒用，因為后面有更好的圖形法。這個例子見群論22的1小時38分鍾。

5）對置換群兩不可約表示的外積 $[λ] ⊙ [μ]$ 進行約化的圖形方法：Littlewood-Richardson 規則

對 $S_{n + m}$ 的可約表示 $[λ] ⊙ [μ]$ , 任取 $[λ]$ 和 $[μ]$ 兩個楊圖中的一個楊圖，通常取格數較多的楊圖，如 $[λ]$ , 將其作為基礎(特別注意，在寫題時應該先選哪個楊圖為基礎，易錯），將另一個楊圖 $[μ]$ 的各行格子分別填以行數，即第 $j$ 行的格子都填以數 $j$

比如第一行的格子都填1，第二行的格子都填2...

自第一行開始，自上而下逐行把楊圖 [ $μ$ ] 的格子補到楊圖 $[λ]$ 上（即：將已經填了數的楊圖的格子補到格數較多的楊圖上），每補完一行格子，都要求滿足如下條件:
(1) 每行補完后的楊圖是正則楊圖
(2) 填相同數的格子不能補在同一列（作業題中必須記得規則2！易錯）.
比如楊圖 [ $μ$ ]的第一行的格子都是1，但是不能將兩個填1的格子都補在 $[λ]$ 的同一列。
(3) 自第一行開始，逐行地自右向左讀楊圖中補上的格子，在讀的過程中的每一步，始終保持填數大的格子數目不大於填數小的格子數目。
比如在 $[λ]$ 中補填1個格子時，填完后，也許在第一行右邊補了一個填1的格子，再補填2的格子時，填2的格子就不能放在第一行填1的格子的右邊了，因為若放在第一行的右邊，從右開始讀，讀到第一個2時會出現一個2，但是還沒有出現1，1在下一步讀的時候才會出現。

這樣補得的全部可能的楊圖 $[ω]$ ，就是在表示外積 $[λ] ⊙ [μ]$ 的約化中可能出現的群 $S_{n + m}$ 的不可約表示，同一楊圖 $[ω]$ 出現的次數，就是該表示在約化中出現的重數 $a_{λ μ}^{ω}$

例題

維數驗證的方法：
根據鈎形數規則和前面講的：誘導表示的維數為：（背：子群的維數（這里就是直乘群的維數）乘以子群的指數就是誘導表示的維數）

就可以進行維數驗證。

有3個誇克，對應的是[2,1]的表示，另外3個誇克，對應的是[2,1]的表示。放到一起后，對稱性是什么？此時就是外積的約化要解決的問題。（為什么，老師沒說）
按照Littlewood-Richardson 規則，第一步：補填1的格子：

注意規則（1）正則楊圖，規則（2）填相同數的格子不能補在同一列。
第二步：補填2的格子：
，，，，，，，，，
注意規則（3）：在讀的過程中的每一步，始終保持填數大的格子數目不大於填數小的格子數目。
總：

3.置換群 $S_{n + m}$ 的分導表示

復習分導表示：

置換群 $S_{n + m}$ 的不可約表示 $[ω]$ , 關於子群 $S_{n} \otimes S_{m}$ 的分導表示, 分導表示是可約的，按子群 $S_{n} \otimes S_{m}$ 的不可約表示 $[λ] \otimes [μ]$ 約化：

特征標方法求重數：

“置換群 $S_{n + m}$ 的不可約表示 $[ω]$ ”見前面2）中的公式（0）：

見前面：

是前面5）中外積（即誘導表示）約化得到的重數。
故，逆向運用 Littlewood-Richardson規則，可求出分導表示的約化：

例

例 $: S_{6}$ 群的不可約表示 $[3, 2, 1]$ , 作為子群 $S_{3} \otimes S_{3}$ 的分導表示，按子群不可約表示的約化
看 $S_{n + m}$ 這個不可約表示有可能是誰跟誰粘格子粘出來的，如果通過粘格子的方法可以得到這個東西，則反過來，它的分解中也會得到這個。通過粘的方式，這個不可約表示出現幾次，則分解中也會出現幾次，這是Frobenius 定理告訴我們的。
根據Frobenius 定理知道，應考慮有哪些不可約表示的外積（即誘導表示）約化會出現[3,2,1]及出現的重數：
這就要逆向運用 Littlewood-Richardson規則：

從上圖可以知道外積是什么，再根據“看 $S_{n + m}$ 這個不可約表示有可能是誰跟誰粘格子粘出來的，如果通過粘格子的方法可以得到這個東西，則反過來，它的分解中也會得到這個。”（原因是什么？不知道，可能數學家證明了）
特別注意，因為是 $S_{3} \otimes S_{3}$ 子群，故逆向運用Littlewood-Richardson規則時，必須是3個格子作為基礎，另外3個格子作為粘的.(這句話是我自己寫的，是根據這個題得到的結論，不知道是否是普遍結論，以后有時間查馬書。這個結論的原因我不知道，可能數學家證明了吧）
故可以得到分導表示的約化：

特別注意其中有直乘和直和，分清楚！

其中
對應的是，對應的是，對應的是，......
另：還可以根據此題驗證Frobenius 定理，省略。