群論第三章 (2)（投影算符需要學，在應用於量子力學中有用，冪等元在置換群才有用，可以不學）

根據

求C2群所有不等價不可約表示：C2群有兩個類，因為有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數，故C2群有兩個不等價不可約表示，因為不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數，故 $x^{2} + y^{2} = 2$ ，故x=1,y=1，故C2群{E,R}有兩個一維的不等價不可約表示，因為任何一個群都有一個恆等表示（表示矩陣：1，1），故其還有一個一維非恆等表示（類似求D3群的一維非恆等表示的方法可以得到，表示矩陣：1，-1）。現在知道了C2群的不等價不可約表示，怎么知道D3的不等價不可約表示？
知道了群的一部分表示怎么構造其他表示，知道了階數小一點的群的表示，怎么知道階數大一點的群的表示。這就是“新表示的構成”一節的內容。

1. 商群的不可約表示、表示的直乘、直乘群的表示

1）定理一：商群的不可約表示也是原群的不可約表示

定理一的例子：例 $: D_{3}$ 群關於不變子群 $C_{3}$ 的商群 $C_{2}$ 的兩個一維不等價不可約表示均為 $D_{3}$ 群的不可約表示：

定理一證明：
證明: 商群 G/H 和群 $G$ 同態，

顯然商群 $G / H$ 的任一表示是群 $G$ 的非真實表示

將群 $G$ 的階記為 $g$ , 不變子群 $H$ 的階記為 $h$ , 則商群 $G / H$ 的階為 $g / h$
若商群 $G / H$ 的某一表示是不可約的，則

$\sum_{R^{'} \in G / H} {| χ (R^{'}) |}^{2} = g / h$

（這是根據正交定理推論5，有限群表示為不可約表示的充要條件。
）
對例子驗證上面的公式：

對於群 $G$ 來說，判斷此不可約表示是否是原群的不可約表示：不可約表示的充要條件：特征標模方對群元素求和是否等於群的階數：
又因為

故

$\sum_{R \in G} | χ (R) |^{2} = h \sum_{R^{'} \in G / H} {| χ (R^{'}) |}^{2} = g$

故得證，商群 G/H 的該不可約表示也是原群 $G$ 的不可約表示。

2）定理二：有限群 $G$ 的兩不可約表示 $D^{i} (G)$ 和 $D^{j} (G)$ 的直乘 $D (G) = D^{i} (G) \otimes D^{j} (G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^{i} (G)$ 是一維表示，則 $D (G)$ 是群 $G$ 的不可約表示

兩個表示直乘時，特征標是相乘，因為矩陣直乘是將后面的矩陣乘到前面矩陣的每個元素上，故特征標是相乘。

1.矩陣的直乘：其實就是量子力學的直積，第一章講了

根據矩陣乘法和直乘的方法可以證明：

2.定理二證明：

在證明過程中用到了：任何有限群一維表示的特征標模為1。
一個結論：
有限群一維表示，其表示矩陣的模和特征標的模都是1.

證明：因為有限群的表示等價於幺正表示，有限群的一維表示可以通過相似變換化為幺正的，一維表示作相似變換，即X乘一個數再乘這個數的逆，最后會發現一維表示作相似變換后還是它自己，即相似變換后化為的這個幺正表示就是它自己，故它自己就是幺正表示，

3）定理三：若有限群 $G$ 等於兩子群的直乘 $, G = H_{1} \otimes H_{2}$ , 則群 $G$ 的不等價不可約表示都可表示為兩子群 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 不等價不可約表示的直乘

直乘群復習：（見第二章）

a.舉例：

此定理說有限群 $G$ 的兩不可約表示 $D^{i} (G)$ 和 $D^{j} (G)$ 的直乘 $D (G) = D^{i} (G) \otimes D^{j} (G)$ ，比如C6群是（一個C2，一個C3）的直乘，比如V4群是（兩個C2）的直乘，根據此定理：群G的不等價不可約表示都可表示為兩子群H1和H2不等價不可約表示的直乘，
因為已知C2的兩個不可約表示（1，1和1，-1），故根據此定理三可以求出V4的所有不等價不可約表示，一個C2有兩個不等價不可約表示，兩個C2直乘剛好有4個不等價不可約表示.(5)
V4群是4階阿貝爾群，阿貝爾群的每個元素自成一類，故有4個類，
因為有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數，故V4群有4個不等價不可約表示，
又因為有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數， $x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = 4$ ，故 $x = y = z = t = 1$ ，故只能有4個一維不等價不可約表示，(6)
（6）這個結論與結論（5）相同，故這驗證了這個定理三的正確性。

b.“群 $G$ 的不等價不可約表示都可表示為兩子群 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 不等價不可約表示的直乘”的計算方法：

對V4群：

定理三證明（沒時間，算了，第47分）：

c.定理三的推論：

直乘群類的個數等於兩子群類的個數的乘積。

證明：根據定理三知，子群 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 的所有不等價不可約表示的直乘窮盡了直乘群 $G$ 的所有不等價不可約表示，又因為有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數，故根據“b.“群 $G$ 的不等價不可約表示都可表示為兩子群 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 不等價不可約表示的直乘”的計算方法”知道，直乘得到的表示的個數等於每個表示的個數的乘積，故直乘群類的個數等於兩子群類的個數的乘積。得證。

d.定理二和定理三的區分

定理二：有限群 $G$ 的兩不可約表示 $D^{i} (G)$ 和 $D^{j} (G)$ 的直乘 $D (G) = D^{i} (G) \otimes D^{j} (G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^{i} (G)$ 是一維表示，則 $D (G)$ 是群 $G$ 的不可約表示
定理二說的是，同一個群有兩個表示，將這兩個表示直乘起來，即對於群的每一個元素，將其對應的表示矩陣直乘。若參與直乘的表示有一個是一維的，則 $D (G)$ 是群 $G$ 的不可約表示。
定理三：若有限群 $G$ 等於兩子群的直乘 $, G = H_{1} \otimes H_{2}$ , 則群 $G$ 的不等價不可約表示都可表示為兩子群 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 不等價不可約表示的直乘
定理三說的是，一個群是兩個子群的直乘群，則它的不等價不可約表示都可表示為兩子群不等價不可約表示的直乘。

2.分導表示和誘導表示

群 $G$ 的階為 $g$ , 它的類 $C_{α}$ 中包含 $n (α)$ 個元素，它的不可約表示記為 $D^{j} (G)$ , 維數為 $m_{j}$ , 類 $C_{α}$ 中元素 $S$ 在此表示的特征標記為 $χ^{j} (S)$ 或 $χ_{α}^{j}$
設 $H = {T_{1} = E, T_{2}, \dots, T_{h}}$ 是群 $G$ 的子群，階為 $h$ , 指數為 $n = g / h$ , 左陪集記為 $R_{r} H$ , 其中 $2 \leq r \leq n$ , 補上 $R_{1} = E$ , 即補上 $R_{1} H$ ，因為群G可以表示為子群並上陪集並上陪集..這樣的形式，故群 $G$ 的任意元素可表示為 $R_{r} T_{t}$ 形式（r取1到n）,** 子群 $H$ 的類** ${\bar{C}}_{β}$ 中包含 ${\bar{n}}_{β}$ 個元素 $, H$ 的不可約表示記為 ${\bar{D}}^{k} (H)$ , 維數為 ${\bar{m}}_{k}$ , 類 ${\bar{C}}_{β}$ 中元素 $T_{t}$ 在此表示的特征標記為 ${\bar{χ}}_{β}^{k}$ 或 ${\bar{χ}}^{k} (T_{t})$

1）分導表示：知道了原群的不可約表示怎么知道子群的不可約表示

把群 $G$ 的不可約表示 $D^{'} (G)$ 中與子群 $H$ 元素有關的表示矩陣挑出來, 構成子群 $H$ 的一個表示，這個表示稱為群 $G$ 的不可約表示 $D^{j} (G)$ 關於子群 $H$ 的分導表示，記為 $D^{i} (H)$ 。
分導表示一般是可約的，可按子群 $H$ 的不可約表示 ${\bar{D}}^{k} (H)$ 約化：

例：

D3群有一個二維不可約表示，有六個二維矩陣，D3群的子群{E,D,F}在剛才的二維表示中對應3個二維矩陣，這三個矩陣構成的矩陣群是{E,D,F}（C3群）的表示，稱為分導表示。這個分導表示是可約的，可以將其向C3的不可約表示約化。

證明表示就是應證明元素對應，元素乘積對應，因為在D3中都滿足元素乘積對應，故顯然在{E,D,F}也滿足，故得證：這三個矩陣構成的矩陣群是{E,D,F}的表示。

2）誘導表示：知道了子群的不可約表示怎么知道原群的不可約表示（群論第15節課1小時32分講了誘導表示）

將 ${\bar{D}}^{k} (H)$ 表示空間的基記為 $ψ_{μ}$ , 則有

定義 $ψ_{r μ} = P_{R_{r}} ψ_{μ}$ , 其中 $ψ_{1 μ} = ψ_{μ}$
對群 $G$ 的任意元素 $S$ , 將 $S R_{r}$ 記為 $R_{u} T_{t}$ , （ $u$ 和 $t$ 完全由 $S$ 和 $r$ 決定），則有

這表明 $n {\bar{m}}_{k}$ 個基 $ψ_{r μ}$ 架設的空間對群 $G$ 保持不變，對應群 $G$ 的 $n {\bar{m}}_{k}$ 維表示 $Δ^{k} (G)$ , 該表示稱為子群 $H$ 的表示 ${\bar{D}}^{k} (H)$ 關於群 $G$ 的誘導表示
誘導表示一般是可約的，可按群 $G$ 的不可約表示 $D^{j} (G)$ 約化

分導表示和誘導表示的區分

分導表示：從原群的不可約表示中，把關於子群的表示矩陣挑出來，構成子群的一個表示
誘導表示：有了子群的不可約表示，將表示空間擴大，它會構成群G的表示，稱為誘導表示

怎么將表示空間擴大的？
因為
，將作用於子群表示空間的基，就將表示空間擴大了，擴大成維的了，其中n是子群的指數。這樣得到的是誘導表示，這個誘導表示是可約表示，應向不可約表示約化。
- 誘導表示的維數：子群的維數乘以子群的指數就是誘導表示的維數

3）費羅貝尼烏斯（Frobenius）定理：

有限群 $G$ 的不可約表示 $D^{j} (G)$ 關於子群 $H$ 的分導表示 $D^{j} (H)$ 中包含子群 $H$ 的不可約表示 ${\bar{D}}^{k} (H)$ 的重數 $a_{j k}$ , 等於子群 $H$ （注意和前面求分導表示時是同一個H）的不可約表示 ${\bar{D}}^{k} (H)$ 關於原群 $G$ 的誘導表示 $Δ^{k} (G)$ 中包含群 $G$ 的不可約表示 $D^{j} (G)$ 的重數 $b_{j k}$ , 即 $a_{j k} = b_{j k}$

不證明這個定理。只是弄懂這個定理在說什么。
有限群 $G$ 的不可約表示 $D^{j} (G)$ 關於子群 $H$ 的分導表示 $D^{j} (H)$ 是可約的，將其向子群的不可約表示約化，約化時不可約表示會出現幾次就是重數 $a_{j k}$ ，誘導表示同理。這個定理說的是兩種重數相等。

老師說這個例題具體的東西他就不講了。說明這個例題很可能不重要。畢竟求誘導表示的方法很復雜，很可能不考。

1.2節有限群不可約表示的特征標表（老師說這一節“特征標表”一定會考，故這幾個例子一定要自己看看，但考試比我們講得更簡單，考試只是在特征標表中去掉幾個空，不用分析其不變子群，只需要根據每一行正交歸一，每一列正交歸一即可填空。作業題中沒有這樣的題，作業題中特征標那題不是填空，而且復雜，應該不考）

1.有限群不可約表示的特征標表

標題行：類 ${C_{α}}$ 前標上該類元素個數 $n_{a}$
標題列: 第 $α$ 個不可約表示
根據有限群不可約表示的個數等於類的個數知道，特征標表是 $g_{c} \times g_{c}$ 方陣
豎：同一類在不同表示中的特征標
橫：不同的類在同一個表示中的特征標

行：不同類在同一不可約表示中的特征標
列: 同一類在不同的不等價不可約表示中的特征標

慣例：第一行給出恆等表示的特征標， $χ_{α}^{1} = 1$
慣例：第一列給出恆元在各不等價不可約表示的特征標，即各不可約表示的維數

因為恆元的表示矩陣為單位矩陣，故其表示的特征標就是維數

2.如何確立有限群不可約表示的特征標表

1）一般原則

(1)有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數

(2)有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數

(3)有限群不等價不可約表示的特征標構成類空間的正交完備基，即特征標表中行是正交的，列也是正交的（背）(此原則一般在 $C_{N}$ 群中用，在 $D_{N}$ 群中一般不用，除了 $D_{5}$ 等，但這公式復雜，考試不會考太難，只是特征標表填空，故不記這兩個公式）

行的正交關系 $: \sum_{α = 1}^{g_{c}} \frac{n (α)}{g} χ_{α}^{i *} χ_{α}^{j} = δ_{i j}$
（正交性，注意其中有復共軛）
列的正交關系 $: \sum_{j} \frac{n (α)}{g} χ_{α}^{j^{*}} χ_{β}^{j} = δ_{α β}$
（完備性，注意其中有復共軛）

2）輔助方法和技巧

a.任何群都有恆等表示，每個元素在恆等表示中的特征標都是1

這個結論需要加上一維兩個字嗎

b.恆元在某一不可約表示中的特征標等於該不可約表示的維數

因為恆元的表示矩陣為單位矩陣，故其表示的特征標就是維數

c.新表示的構成一節中定理一：商群的不可約表示也是原群的不可約表示（而且是非真實表示）（背，重要）

d.新表示的構成一節中定理二的一部分：群的一維非恆等表示與高維不可約表示直乘，仍是群的不可約表示（背，重要）

定理二：有限群 $G$ 的兩不可約表示 $D^{i} (G)$ 和 $D^{j} (G)$ 的直乘 $D (G) = D^{i} (G) \otimes D^{j} (G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^{i} (G)$ 是一維表示，則 $D (G)$ 是群 $G$ 的不可約表示

e.新表示的構成一節中定理三：若群等於兩子群的直乘，則其所有不等價不可約表示都由兩子群的不等價不可約表示的直乘給出（背，重要）

f.阿貝爾群的不可約表示都是一維的（背，重要）（一維表示的特征標就是表示矩陣）

因為設阿貝爾群有g個元素，每個元素自成一類，故g個類，根據原則（1）知，不可約表示的個數等於群的類數，故g個不可約表示。又根據原則（2）知，不可約表示維數的平方和等於群的階數，故其不可約表示都是一維的。

g.除恆等表示外，有限群任意一不可約表示的特征標對群元素求和等於零（背，重要）。

特征標表中任何兩行都正交，故也會和一維恆等表示對應的行正交，即

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & . . . \end{matrix}) (\begin{matrix} χ_{1}^{i} \\ χ_{2}^{i} \\ . \\ . \\ . \end{matrix}) = 0$

故得證。

h.有限群表示中，自逆類的特征標為實數，相逆類的特征標互為復共軛（背）

例子：

i.有限群不可約的非自共軛表示與其復共軛表示（不可約）成對出現，特征標互為復共軛；不可約自共軛表示的特征標為實數(不用記，用不到）

證明：先證明表示取復共軛后的特征標是原表示特征標的復共軛、一個不可約表示取復共軛后還是不可約表示：一個不可約表示D(G）,取復共軛后，它一定還是一個不可約表示，因為取復共軛會使得特征標變為D(G)的特征標的復共軛，但不改變特征標的模方，之前是不可約的，特征標模方對群元素求和等於g，取復共軛后，特征標模方對群元素求和還是等於g，故其還是不可約的。
對自共軛表示，自共軛表示D(G）的表示矩陣取復共軛得到的復共軛表示與原來的表示等價，根據等價的充要條件知，特征標對應相等，又因為前面證明了復共軛表示的特征標是原來表示D(G)的特征標的復共軛，故自共軛表示的特征標為實數，或下圖證明：
。
對非自共軛表示，其表示矩陣取復共軛得到的復共軛表示與原來的表示不等價，根據等價的充要條件知，特征標不會對應相等，又因為前面證明了復共軛表示的特征標是原來表示D(G)的特征標的復共軛，故有限群不可約的非自共軛表示與其復共軛表示（不可約）成對出現，特征標互為復共軛。得證。

有限群自逆類的個數等於不等價不可約自共軛表示的個數，相逆類的對數等於不等價不可約非自共軛表示的對數

證明復雜，沒時間，省略。

不等價不可約自共軛表示的個數：等於自逆類的個數
不等價不可約非自共軛表示的對數：等於相逆類的對數
例子：

j.不可約表示的充要條件：特征標模方對群元素求和等於g（背，重要）

3.循環群不可約表示的特征標表

1）循環群中元素R在N個不等價不可約表示中的表示矩陣分別為（背）：
$\begin{matrix} (2) & D^{j} (R) = \exp [- i 2 (j - 1) π / N] (j = 1, 2, \dots, N) \end{matrix}$

其它元素的表示矩陣由群元素的乘積關系給出。（背）
證明： $N$ 階循環群 $G = {E, R, R^{2}, \dots, R^{N - 1}}$ 是阿貝爾群
每個元素自成一類 , 共 $N$ 個類, 因此有 $N$ 個不等價不可約表示;
這 $N$ 個不等價不可約表示維數的平方和還等於 $N$ , 因此每個不可約表示都是一維的；即阿貝爾群的不可約表示都是一維的。
因為表示矩陣都是一維的，故
因為根據表示的定義，有 $D (S R) = D (S) D (R)$ ，故表示矩陣需滿足群元素的乘積關系，有

即元素 $R$ 的表示矩陣有 $N$ 個解，每個解代表一個不等價不可約表示,
記為 :循環群中元素R在N個不等價不可約表示中的表示矩陣分別為（背）：

\begin{matrix} (3) & D^{j} (R) = \exp [- i 2 (j - 1) π / N] (j = 1, 2, \dots, N) \end{matrix}

其它元素的表示矩陣由群元素的乘積關系給出。（背）得證。

2）例：循環群：公式法最好

根據循環群中元素R在N個不等價不可約表示中的表示矩陣公式，可以得到以下所有的循環群特征標表：

也可以根據一般原則中的三點求出以上特征標表：（2）得：2個表示，（1)得；2個一維表示，因為一定有一維恆等表示，故求出了第一行，在根據（3）特征標表中行是正交的，列也是正交的，可以求出第二行。

也可以根據一般原則中的三點求出以上特征標表：（2）得：3個表示，（1)得；3個一維表示，因為一定有一維恆等表示，故求出了第一行，又根據恆元對應的表示矩陣是單位矩陣求出第一列，在根據（3）特征標表中行是正交的，列也是正交的，設a,b,c,d，可以求出a,b,c,d的關系，化為只有一個自變量a，再根據“i.有限群不可約的非自共軛表示與其復共軛表示（不可約）成對出現，特征標互為復共軛；不可約自共軛表示的特征標為實數”、“j.不可約表示的充要條件：特征標模方對群元素求和等於g”可以解得復數a。但是這個方法很復雜，還是公式法最好。

也可以得到C6

4. $D_{2}, D_{3}, D_{4}, D_{5}, D_{6}$ 群的不可約表示的特征標表

1） $D_{2}$

$D_{2}$ 群 $\left(\mathbf{V}_{4}\right$ . 群)是阿貝爾群，有 4 個元素，一個恆元，三個二階元素，它們各自成一類，共 4 個類，因此 4 個不等價不可約表示都是一維的。（阿貝爾群的不可約表示都是一維的）
根據“e.新表示的構成一節中定理三：若群等於兩子群的直乘，則其所有不等價不可約表示都由兩子群的不等價不可約表示的直乘給出（背，重要）”和得到：

從而得到V4的特征標表。

2） $D_{3}$

$D_{3}$ 群有 6 個元素，恆元是一類，2 個三階元素構成一類, 3 個二階元素構成一類, 共 3 個類, 3 個不等價不可約表示維數的平方和為 $6$ , 故該群有 2 個一維不可約表示和 1 個二維不可約表示。
法一：找不變子群，對任何一個 $D_{N}$ 群， $C_{N}$ 是它的一個不變子群，商群是 $C_{2}$ ，根據“c.新表示的構成一節中定理一：商群的不可約表示也是原群的不可約表示（而且是非真實表示）（背，重要）”知道，

這樣得到了特征標表的前兩行，
根據恆元對應的表示矩陣是單位矩陣求出第一列（注意二維表示是2），故特征標表：

（其他方法很難解出a,b，以下方法最好）
根據“d.新表示的構成一節中定理二的一部分：群的一維非恆等表示與高維不可約表示直乘，仍是群的不可約表示（背，重要）”，根據矩陣直乘知道直乘后得到的不可約表示中對應的特征標為-b，而因為只有一個二維表示，故b=-b，解得b=0。
根據“g.除恆等表示外，有限群任意一不可約表示的特征標對群元素求和等於零（背，重要）”知2+2a+3b=0，故a=-1.

法二：像之前的例題一樣求出其所有的不可約表示，再根據表示求出特征標表。

3） $D_{4}$

$D_{4}$ 群有 8 個元素，恆元是一類，繞四次軸轉動的 2 個四階元素構成一類, 1 個二階元素（即繞4次軸轉180度）構成一類，繞二次軸轉動的 4 個二階元素分成兩類, 共 5 個類,

復習一下第二章即知道是5個類

5 個不等價不可約表示維數的平方和為 $8$ , 故該群有 4 個一維不可約表示和 1 個二維不可約表示。
特征標表第一行都是1，第一列除了最后一行是2，其他都是1。
$D_{4}$ 群有 1 個不變子群 $C_{4}, 2$ 個不變子群 $D_{2}$ , 這3個不變子群對應的商群都是 $C_{2}$ 群 ; 還有 1 個不變子群 $C_{2}$ , 這個不變子群對應的商群是 $D_{2^{\circ}}$

根據“c.新表示的構成一節中定理一：商群的不可約表示也是原群的不可約表示（而且是非真實表示）（背，重要）”知道，根據不變子群 $C_{4}$ 及其商群 $C_{2}$ 知道， $E$ & $2 C_{4}$ & $C_{4}^{2}$ 這4個元素對應1（即表示矩陣為1，因為一維，特征標為1）， $2 C_{2}^{'}$ & $2 C_{2}^{''}$ 這4個元素對應-1，得到特征標表第二行。
根據不變子群 $D_{2}$ （{E, T2, S0, S2}）及其商群 $C_{2}$ 知， $E$ 、 $C_{4}^{2}$ 、 $2 C_{2}^{'}$ 對應1， $E$ 、 $C_{4}^{2}$ 、 $2 C_{2}^{''}$ 對應-1。
以上就是4個一維不可約表示，即得到了特征標表的前4行。
根據不變子群 $C_{2}$ （{E, T2}）及其商群 $D_{2}$ 知，但因為 $D_{2}$ 的不可約表示都是一維表示，故這樣對應得不到二維表示。
設特征標表為：

根據“d.新表示的構成一節中定理二的一部分：群的一維非恆等表示與高維不可約表示直乘，仍是群的不可約表示（背，重要）”，根據矩陣直乘知道直乘后得到的不可約表示中 $2 C_{2}^{''}$ 對應的特征標為-d，而因為只有一個二維表示，故d=-d，解得d=0。同理得a=0，c=0.
根據“g.除恆等表示外，有限群任意一不可約表示的特征標對群元素求和等於零（背，重要）”知2+b=0，故b=-2.
故特征標表：

4） $D_{5}$ （難）

$D_{5}$ 群有 10 個元素，恆元是一類， 4 個五階元素分成兩類，5 個二階元素構成一類，共 4 個類， 4 個不等價不可約表示維數的平方和為 10 , 故該群有 2 個一維不可約表示和 2 個二維不可約表示。
$D_{5}$ 群有 1 個不變子群 $C_{5}$ , 商群是 $C_{2}$ 群。

根據第二章中的

故第一行第一列可以得到。
設

根據

故特征標表：

5） $D_{6}$

$D_{6}$ 群有12 個元素，恆元是一類，繞六次軸轉動的 2 個六階元素構成一類，2 個三階元素構成一類, 1 個二階元素構成一類，繞二次軸轉動的 6 個二階元素分成兩類，共 6 個類, 6 個不等價不可約表示維數的平方和為 $12$ , 故該群有 4 個一維不可約表示和 2 個二維不可約表示。
$D_{6}$ 群有 1 個不變子群 $C_{6}, 2$ 個不變子群 $D_{3}$ , 商群都是 $C_{2}$ 群 ; 一個不變子群 $C_{3}$ , 商群是 $D_{2}$ 群 ; 還有一個不變子群 $C_{2}$ , 商群是 $D_{3}$ 群。
根據不變子群可以求出前4行。
根據 $D_{5}$ 中的方法得到后兩行。
$D_{6}$ 的另一種方法：
因為 $D_{6}$ 等於 $D_{3}$ 直乘 $C_{2}$ ，得到特征標表。

1.3節投影算符和有限群群代數的分解

1. 投影算符

1）定義

設 $D^{i}$ 為群 $G$ 的 $m_{i}$ 維不可約幺正表示，定義投影算符（背）

老師說， $μ 、 ν$ 有 $m_{i}$ 個，故共有 $\sum_{i} m_{i}^{2}$ 個這樣的算符。？幺正是否有更強的限制。所以我認為這個說法是否有錯誤，沒時間，以后再說。

共有g個線性獨立的投影算符。

為什么線性獨立，可能可以通過類似正交定理的推論來證明：

投影算符的本質（背）：

2）性質1：設 $ψ$ 為任意函數，若 $P_{μ ν}^{i} ψ$ 非零，則 $P_{μ ν}^{i} ψ$ 為這個第 $i$ 個不可約表示 $D^{i}$ 的第 $μ$ 列的函數（背，重要）。

$P_{μ ν}^{i} ψ$ 是一個算符作用於 $ψ$ ，得到的還是一個函數

證明（此證明重要）：

這表明，若投影算符已知，則可從任意函數出發構造荷載不可約表示的基（背）：
將投影算符作用於 $ψ$ ，得到 $P_{μ ν}^{i} ψ$ ，若其非零，則它就是這個第 $i$ 個不可約表示 $D^{i}$ 的第 $μ$ 列的函數（其實是荷載這個不可約表示的一個基矢量）。取遍所有的 $μ$ （ $μ$ 一共有 $m_{i}$ 個），就得到荷載這個不可約表示的基。

得到了基之后，就可以求出這個不可約表示。但是在投影算符定義中用了，故好像是在循環，是無用功，但是這個性質的意義是：假設不知道這個表示的表示矩陣 $D^{i}$ ，如果有另外不一個辦法，可以不根據定義而求出投影算符，則我們就可以根據此性質，從任意函數出發構造荷載不可約表示的基，得到了基之后，就可以求出這個不可約表示。這就是一個從已知的投影算符出發得到不可約表示的表示矩陣的方法。
在置換群一章我們就是這樣從楊算符出發求表示。

3）性質2：

若 $ψ_{μ}^{i}$ 屬於不可約表示 $D^{i} 第 μ$ 列的函數，即

的含義（背，重要）：投影算符作用在屬於第 $i$ 個不可約表示 $D^{i}$ 的第 $ν$ 列的函數時，得到的是屬於第 $i$ 個不可約表示 $D^{i}$ 的第 $μ$ 列的函數。
的含義：
投影算符作用於只要不是（屬於第i這個不可約表示第 $ν$ 列的這個函數）時，結果都是0.

4）性質3

將任意函數ψ按不可約表示的基函數展開

展開成屬於第j這個不可約表示第 $λ$ 列的函數，展開系數是 $a_{λ r}^{j}$ ，如果是重表示，用r來標記是哪個重表示。
例

根據性質2知道：

最右邊的r是標記重表示。（為什么這里有重表示？重表示不是就在系數就行嗎？沒時間，以后再說）
這表明， $P_{μ μ}^{i}$ 將任意函數 $ψ$ 中屬於第 $i$ 個不可約表示 $D^{i}$ 的第 $μ$ 列的分量投影出來並將其它成分消除掉

這就是投影算符這個名字的來源

判斷任一函數是否屬於某不可約表示確定列函數的充要條件

現在考慮性質1中的前提條件何時成立：即什么情況能使得 $P_{μ ν}^{i} ψ$ 非零：

這個函數 $ψ$ 在
這樣展開時，有屬於第 $i$ 個不可約表示 $D^{i}$ 的第 $μ$ 列的分量時， $P_{μ ν}^{i} ψ$ 就非零；
而當 $ψ$ 不含屬於第 $i$ 個不可約表示 $D^{i}$ 的第 $μ$ 列的分量時， $P_{μ ν}^{i} ψ$ 就是零。

例題

根據投影算符公式可以寫出這些投影算符。
對二維不可約幺正表示，有上面4個投影算符。

討論性質3：

對以上所有投影算符，可以發現 $P_{11}^{A} + P_{11}^{B} + P_{11}^{E} + P_{22}^{E} = I$ ，其物理意義：根據性質3，因為對任意一個函數，它展開
，有4項，一項是屬於一維恆等表示第一列的，一項是屬於一維非恆等表示第二列的函數，還有一項屬於二維不可約表示第一列的函數，還有一項屬於二維不可約表示第二列的函數，而根據性質3知道， $P_{11}^{A}$ 將屬於一維恆等表示這一項挑出來了， $P_{11}^{B}$ 將屬於一維非恆等表示第二列的函數這一項挑出來了，等等，故這4個投影算符 $P_{11}^{A}, P_{11}^{B}, P_{11}^{E}, P_{22}^{E}$ 將這4項都挑出來了，故將 $ψ$ 還原了。故它們之和是單位算符。

討論性質1：

因為 $ψ$ 可以任意取，這里取，

故能知道投影算符作用於 $ψ$ 等於什么：
根據性質1：設 $ψ$ 為任意函數，若 $P_{μ ν}^{i} ψ$ 非零，則 $P_{μ ν}^{i} ψ$ 為這個第 $i$ 個不可約表示 $D^{i}$ 的第 $μ$ 列的函數，知道，如果投影算符作用后不等於0，得到結論：

而若將任意函數取為 $ψ (x, y) = - 2 x y$ ，則

得到的荷載二維不可約表示的基的結果和剛才取 $ψ (x, y) = 2 x^{2}$ 得到的荷載二維不可約表示的基相同。

來自為知筆記(Wiz)

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