量子力學基礎-2

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3. 算符

3.1 線性算符

$A(|a\rang+|b\rang) = A|a\rang+A|b\rang$

$A(z|a\rang = zA|a\rang$

3.2 特殊算符

恆等算符$I$ $I|a\rang = |a\rang$

零算符0 $0|a\rang = 0$

3.3 本征值和本征矢

$A|v\rang = \lambda|v\rang$ $|v\rang 是 A 的本征矢量，\lambda 是相應的本征值.$

如何求得本征值和本征矢量：

(1) $A|v\rang =\lambda|v\rang = \lambda I |v\rang (I是等同算符)$

(2) $(A-\lambda I）|v\rang = 0$

(3) $|A-\lambda I| = 0$，解得 $\lambda$，帶入$(A-\lambda I）|v\rang = 0$，可求得 $|v\rang$.

3.4 對易關系

$[A, B] = AB-BA$，若$[A, B] = 0, 即 AB=BA，則稱A與B是對易的.$

$\{A, B\} = AB+BA$，若${A, B} = 0, 即 AB=-BA，則稱A與B是反對易的.$

3.5 厄米算符

$A = A^\dagger$，則$A$ 是厄米算符. （類似對稱矩陣，$A=A^T$）

$(AB)^\dagger = B^{\dagger}A^\dagger$

推導：$(AB)^\dagger = ((AB)^*)^T) = ((AB)^T)^*) = (B^{T}A^T)^* = ((B^T)^*)((A^T)^*) = B^{\dagger}A^\dagger$

厄米算符的本征值是實數.

半正定算子(positive operator) 是厄米算子的一個極重要的子類.

$半正定算子A \Longleftrightarrow (|v\rang, A|v\rang) = \lang v| A |v \rang \geq 0$

$正定算子A \Longleftrightarrow (|v\rang, A|v\rang) = \lang v| A |v \rang > 0$

正定的(positive definite). 任意半正定算子自動地是厄米的，於是由譜分解定理，它具有對角表示$\sum_i \lambda_i |i\rang \lang i|$， $\lambda_i$ 是非負特征值.

3.6 外積算符

$態矢 |u\rang自身的外積是 |u\rang \lang u|$.

3.7 投影算符

設空間 $V$ 是$n$維， $|i\rang (i=1,2,\cdots, n)$ 是空間$V$ 的一組正交規一基，定義投影算符
$P=\sum_{1}^{m}|i\rang\lang i|~~~~(i=1,2,\cdots,m),~~m\leq n$
各個 $|i\rang~(i=1,2,\cdots,m)$ 構成 $V$ 的子空間 $M$. 投影算符$P$作用於空間V中的任一態矢$|w\rang$相當於求取$|w\rang$ 在子空間 $M$ 中的分量. 顯然，
(1). 當 $m =n$時，子空間$M$亦即原來的空間 $V$. $V$ 中任何態矢 $|w\rang$ 在 $V$中的投影顯然就是 $|w\rang$ 本身，故
$\sum_1^n |i\rang\lang i|w\rang = |w\rang$
$\sum_1^n |i\rang\lang i | = I$, $I$ 是$n$ 階等同算符.

(2). 當 $m<n$ 時，$|w \rang$ 是空間 $V$ 中的任意態矢，$P|w \rang = \sum_1^m|i\rang \lang i|w\rang = |v\rang$ 是在 $M$中， $|v\rang$ 在$M$ 中的投影是 $|v\rang$ 自身, 故
$\left\{\begin{matrix} P(P|w\rang)= P|w\rang = |v\rang \\ P=P^2=P^3= \cdots \end{matrix}\right.$

3.8 對角化及譜分解

$A=\sum \lambda_i |i\rang \lang i | (i = 1,2, \cdots, n) = O = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$

其中，$\lambda_i$ 是本征值，$|i\rang$ 是對應的本征向量.

算符 $A$ 能夠對角化的充要條件是 $A$ 是一個正規算符(normal operator)，即 $AA^\dagger = A^{\dagger}A$.
$A 能夠對角化 \Longleftrightarrow AA^\dagger = A^{\dagger}A$

3.9 幺正算符

幺正算符，也叫酉算符. $U^\dagger = U^{-1}$，即 $U^{\dagger}U = I$. (類似正交矩陣 $AA^T = I$，$A^T = A^{-1}$)

幺正算符的性質：

(1) 空間中任意兩個矢量經幺正變換后內積保持不變.

推導如下：

變換前的兩個矢量，$|s\rang$ 和$|t\rang$，其內積為$\lang s|t \rang$.

以幺正算符作用於$|s\rang$ 和$|t\rang$ 后，$U|s\rang$ 和$U|t\rang$，其內積為 $\Big(U|s\rang, U|t\rang \Big) = \lang s|U^{\dagger} U|t\rang = \lang s|I|t\rang = \lang s|(I|t\rang) = \lang s|t\rang$.

(2) 正交規一基經過幺正變換后變為另一組正交歸一基.

設$|u_i\rang(i=1,2,\cdots,n)$ 是一組正交規一基，$U$ 是幺正變換，$U|u_i\rang = |w_i\rang$，可得

\[\lang w_i|w_j \rang = \lang u_i| U^\dagger U | u_j \rang = \lang u_i | u_j \rang = \delta_{ij} \]

反之，若 $|u_i\rang$ 和 $|w_i\rang$ 是兩組歸一正交基，則它們之間的變換是幺正變換. 即，$A|u_i\rang = |w_i\rang$, A是幺正變換.

推導如下：

假設 $A|u_i\rang = |w_i \rang$，證明 $A$ 是幺正算符.

$A^\dagger = \sum_i |u_i\rang \lang w_i|$

$A^{\dagger}A = \sum_i |u_i\rang \lang w_i| \sum_j |w_j \rang \lang u_j| = \sum_i \sum_j |u_i\rang \lang w_i|w_j \rang \lang u_j| = \sum_i |u_i\rang \lang u_i| = I$.

上式中 $I $ 是恆等算符，故 $A$ 是幺正算符.

(3) 幺正算符的本征值都以1為模數，亦即可表示為$e^{i\theta}$， $\theta$ 是個實數.

3.10 泡利算符

$\sigma_0 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\sigma_ 1= \sigma_x = X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2= \sigma_y = Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$ $\sigma_3= \sigma_z = Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

泡利算符既是厄米算符，又是幺正算符，即$\sigma = \sigma^\dagger = \sigma^{-1}$.

3.11 張量積

張量運算是把兩個空間聯系起來的有力工具。張量積是將向量空間合在一起，構成更大向量空間的一種方法，這個方法對理解量子力學的多粒子系統很關鍵.
設$A$是空間$U$的算符，$B$是空間$V$的算符，$A$ 與$B$的張量積$A \otimes B $是空間$W$ 的算符. $W$ 是由$U \otimes V$ 構成的一個更大的空間. $W$ 中的元素是$U$ 的元素$|u\rang$ 和$V$的元素$|v\rang$ 的張量積$|u\rang \otimes |v\rang$的線性組合. 特別地，若$U$ 是$n$維的，$|i\rang$ 是$U$ 中的一個基，$V$ 是$k$維的，$|j\rang$ 是$V$ 中的一個基，則$W$ 是$nk$維的，$|i\rang\otimes|j\rang=|i\rang|j\rang=|i,j\rang=|ij\rang$ 是$W$ 中的一個基.
張量積的基本性質：
1. 對任意標量$z$， $U$ 的元素$|u\rang$ 和$V$的元素$|v\rang$, 滿足
  
  $z(|u\rang \otimes |v\rang)=z(|u\rang) \otimes |v\rang=|u\rang \otimes (z|v\rang)$
2. 對$U$ 的元素$|u_1\rang,|u_2\rang$ 和$V$的元素$|v\rang$, 滿足
  
  $(|u_1\rang+|u_2\rang)\otimes|v\rang=|u_1\rang\otimes|v\rang+|u_2\rang\otimes|v\rang$
3. 對$U$ 的元素$|u_\rang$ 和$V$的元素$|v_1\rang, |v_2\rang$滿足
  
  $|u\rang\otimes(|v_1\rang+|v_2\rang)=|u\rang\otimes|v_1\rang+|u\rang\otimes|v_2\rang$
4. 轉置、復共軛、伴隨算子對張量積是分配的，不改變順序.
  $(A\otimes B)^T=A^T \otimes B^T$
  $(A\otimes B)^*=A^* \otimes B^*$
  $(A\otimes B)^\dagger=A^\dagger \otimes B^\dagger$
定義$U \otimes V$ 上的線性算子$A\otimes B$, 其中$A$是空間$U$的線性算子，$B$是空間$V$的線性算子, $|u\rang$是空間$U$的元素，$|v\rang$是空間$V$的元素.

$(A\otimes B)(|u\rang \otimes |v\rang)=A|u\rang \otimes B|v\rang$

為保證線性，$A\otimes B$ 對空間$U \otimes V$ 上的所有元素都成立，即

$(A\otimes B)(\sum_i a_i |u_i\rang \otimes |v_i\rang)=\sum_i a_iA|u\rang \otimes B|v\rang$

空間$U$和$V$ 上的內積可以定義$U \otimes V$ 上的一個自然內積，即

$(\sum_i a_i |u_i\rang\otimes |v_i\rang), \sum_j b_j |u_j^{'}\rang\otimes |v_j^{'}\rang)=\sum_i \sum_j a_i^*b_j\Big(\lang u_i|\otimes\lang v_i|\Big)\Big(|u_j^{'}\rang\otimes| v_j^{'}|\rang\Big)\\=\sum_i \sum_j a_i^*b_j\Big(\lang u_i| u_j^{'}\rang\Big)\otimes\Big(\lang v_i|v_j^{'}\rang\Big)=\sum_i \sum_j a_i^*b_j\lang u_i| u_j^{'}\rang\lang v_i|v_j^{'}\rang$
算符和矩陣是等價的，現在轉到稱為 Kronecker 積的矩陣表示.

$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$ $B= \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$

$A\otimes B= \begin{bmatrix} a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12}\\ a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12}\\ a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22}\\ \end{bmatrix}$

上述的$A$及$B$ 可以是行矩陣或列矩陣，設$V$是一個二維的復線性空間，其基矢為$|0\rang$ 和$|1\rang$, 現討論由$V\otimes V$ ，即兩個量子位組成的空間的矢量.
- 設$|0\rangle = \binom{1}{0}$, $|1\rangle = \binom{0}{1}$, 則
  
  $|0\rang \otimes|0\rang=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0\\0 \end{bmatrix} =|00\rang$
  
  $|0\rang \otimes|1\rang=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\0\\0 \end{bmatrix} =|01\rang$
  
  $|1\rang \otimes|0\rang=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1\\0 \end{bmatrix} =|10\rang$
  
  $|1\rang \otimes|1\rang=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0\\1 \end{bmatrix} =|11\rang$
- 設 $\langle 0| = \begin{bmatrix} 1~0 \end{bmatrix}$ $\langle 1| = \begin{bmatrix} 1~0 \end{bmatrix}$，則
  
  $\lang0|\otimes\lang0|=\begin{bmatrix}1~0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1~0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1~0~0~0\end{bmatrix}=\lang00|$
  
  $\lang0|\otimes\lang1|=\begin{bmatrix}1~0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0~1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0~1~0~0\end{bmatrix}=\lang01|$
  
  $\lang1|\otimes\lang0|=\begin{bmatrix}0~1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1~0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0~0~1~0\end{bmatrix}=\lang10|$
  
  $\lang1|\otimes\lang1|=\begin{bmatrix}0~1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0~1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0~0~0~1\end{bmatrix}=\lang11|$
- 記$00=e_1, 01=e_2, 10=e_3, 11=e_4$, 容易驗證 $\lang e_i|e_j\rang=\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1~~~i=j \\ 0~~~~i\neq j \end{matrix}\right.$ 所以$\{|e_i\rang\}(i=1,2,3,4)$ 組成正交規一基.

參考文獻

[1] 馬瑞霖. 量子密碼通信[M]. 北京：科學出版社，2006.

[2] [英]尼爾森，庄著. 量子計算和量子信息(一)--量子計算部分[M]. 趙千川譯. 北京：清華大學出版社，2009.

[3] [法]Emmanuel Desurvire. Classical and Quantum Information Theory[M]. 北京：科學出版社，2013.

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