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這份筆記是根據up主沒尾巴的耗子的量子力學系列教程——蘭蘭的不自量力整理的，建議先看視頻再來看筆記，喜歡的小伙伴可以關注他
課程鏈接：【蘭蘭的不自量力】量子力學考研教學視頻01：學習經驗分享、波函數與薛定諤方程、歸一化_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili
（圖片均來自視頻截圖，侵刪）
01 波函數與薛定諤方程
1.薛定諤方程在量子力學中的地位（對比牛頓運動方程）
2. 一維情況下的薛定諤方程（對比牛頓運動方程）
注釋： i是√-1
h是普朗克常數
V是勢能
ℏ是約化普朗克常數
上面的一維薛定諤方程我們也稱做含時薛定諤方程，因為它含有時間 t 這個變量
含時薛定諤方程：含有時間 t
定態薛定諤方程：不含時間 t（后面要講）
牛頓力學中
從上面的運動方程可以看出，保守場里如果知道物體的初始位置x0，場的勢能函數V(x,t)，就可以求出任意時刻物體的位置x。
量子力學中
從一維薛定諤方程看出，如果知道粒子的質量m和勢能函數V(x,t)，就可以求出波函數Ψ
那這個波函數有什么用？？？
3.波函數是干什么的，可以吃嗎？——幾種錯誤觀點和玻恩統計詮釋
正確的解釋：
注釋：波函數是復數域的函數，所以他不能直接用平方，而應該用模平方。求法就是Ψ乘以Ψ*（Ψ的共軛復數）
概率分布函數即概率密度函數，要求全空間積分為1，可以類比高中熱學的粒子速度概率曲線，高中數學的正態分布曲線
4. 上帝會不會擲骰子？——玄學討論：
我們的問題是：薛定諤方程告訴我們只能確定粒子在哪里的概率，而不能確定它的位置。
這到底是理論的缺陷，還是它本來就是不可確定的？？
第一種回答 隱變量理論說：薛定諤方程里面還有一些我們不知道的隱藏變量（隱變量），只要加上，粒子的位置就可以確定。
貝爾不等式和貝爾實驗否定了這種理論
第三種回答 不回答論說： 你要知道一個東西的位置就必須通過測量，所以測量之前它在哪里沒有意義
這顯然是不對的。有些現象必須在不測量的情況下才能出現，比如一個電子自己跟自己干涉的圖案。你要研究這個現象，就必須去研究不測量時電子位置是什么樣的。
第二種回答 哥本哈根詮釋被稱為正統詮釋，雖然它也存在很多問題和漏洞，但是它目前是最正確的解釋
它很好用！
其他解釋比如平行世界論。。。。額。。。。
5.哥本哈根詮釋說不明白的問題
測量到底是個什么神仙過程，為什么可以引起波函數坍縮
測量是怎么定義的，只有人是測量者嗎，薛定諤的貓是不是測量者，攝像頭是不是測量者，測量者的測量者怎么分析等等
6.歸一化
唉什么是歸一化？
我們直接去解薛定諤方程的話，解出來的波函數平方全空間積分是不確定的，有可能是1，有可能是0.1,2,30,100等等
但是根據我們上面提到的玻恩統計詮釋，波函數平方是概率密度函數，全空間積分必須得等於1才行
（這里的全空間就是x軸-∞到+∞）
為什么我們可以進行歸一化這個操作呢？
任何波函數都可以歸一化嗎？
這張PPT事實上說明了，把一個波函數乘個常數后它仍然是薛定諤方程的解，所以我們乘以A把它歸一化是合理的。
這個屬於考試出題的一個習慣了
簡單來說:只要它∫ ΨΨ*dx 在全空間積分是個非零常數
那就OK
下面這個是蘭老師證明這個全空間積分不隨時間變化的過程，推導里求時間偏導的方法很重要！之后還會用
第一步把求導放在積分里面的操作我們叫Differentiation Under the Integral Sign，條件是求完對t偏導之后這個函數要對x可積（一般不會出問題）
第二步是求導的乘法法則
第三、四步是分別求出第二步中需要的兩個表達式
第五步，把三四步結果代入第二步，求出了對x偏導的最終表達式
最后一步帶進去積分，因為玻恩統計詮釋要求積分收斂，所以波函數Ψ以及波函數的共軛Ψ*在無窮遠處都必須為零。最后結果就是零
習題：
請留步~~~~
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