薛定諤方程

一維簡諧波

對於最簡單的一維簡諧波，方程如下：

\[ y = Acos(kx-wt) \]

我們可以這么理解，在\(t=t_0\)時刻，波的形狀為\(y=Acos(kx-wt_0)\),
在\(x=x_0\)的位置，波幅按\(y=Acos(kx_0-wt)\)規律變化。

復指數形式

\[y = Ae^{i(kx-wt)} \]

波函數

由於實物粒子具有波動性，那么必存在一個波動方程，考慮其最簡單的形式，即：

物質波

德布羅意認為物質是一種波，其波長滿足公式:\(\lambda = \frac{h}{p}\)，又有質能關系，可得：

\[\begin{aligned} &E=h v=\frac{h}{2 \pi} 2 \pi \nu=\hbar \omega \\ &\vec{p}=\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{2 \pi} \frac{2 \pi}{\lambda}=\hbar \vec{k} \end{aligned} \]

其中，\(\hbar\)稱為約化普朗克常數，\(\hbar = \frac {h}{2\pi}\), \(\vec k\)被稱為波數,\(k = \frac {2\pi} \lambda\)。

薛定諤方程推導

波函數求偏導

由於能量\(E\)為動能和勢能之和，以及動量公式：

代入得：

哈密頓算符

\[\hat{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial \vec{r}^{2}}+U(\vec{r}, t)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+U(\vec{r}, t) \]

其中，\(\nabla\)稱為拉普拉斯算符

波函數物理意義

波函數——是空間和時間的復函數，滿足薛定諤方程，即處在具體微觀條件下，可由相應的薛定諤方程解出。而波函數所表示的波，也被稱為概率波、或幾率波.

概率詮釋

波恩認為，波函數\(Ψ\)並非是電子波，而是描述電子在空間分布的幾率波，沒有物理實在性，也就是波函數本身沒有物理意義。
波函數的模的平方，代表了電子在某個時刻，某個地點出現的概率是多少

電子幾率波

由於波函數隨時間和空間的演化滿足薛定諤方程，所以當我們知道了一個電子的初態\(ψ(r,0)\), 也就是0時刻的電子波函數狀態，那么以后每個時刻的波函數\(𝜓(r,t)\), 都能從薛定諤方程中求解出來。