1. 定義
在數學領域中，剛性方程（stiffness equation）是指一個微分方程，其數值分析的解只有在時間間隔很小時才會穩定，只要時間間隔略大，其解就會不穩定。目前很難去精確地去定義哪些微分方程是剛性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速變動的項，則其為剛性方程。
在積分微分方程時，若某一區域的解曲線的變化很大，會希望在這個區域的積分間隔密一些，若另一區域的曲線近似直線，且斜率接近零，會希望在這個區域的積分間隔松一些。不過針對一些問題，就算曲線近似直線，仍然需要用非常小的積分間隔來積分，這種現象稱為“剛性”。有時可能會出現兩個不同問題，一個有“剛性”，另一個沒有，但兩個問題卻有同一個解的情形。因此“剛性”不是解本身的特性，而是微分方程的特性，也可以稱為是剛性系統。
2. 舉例
考慮如下初值問題：$${y^{'} = -15y(t)，t \ge 0，y(0) = 1}$$
其精確解是：$${y(t) = e^{-15t}}$$
易知，當\({t \rightarrow \infty}\)時，\({y(t) \rightarrow 0}\)。當我們用數值分析的方法來解決該問題時，我們希望數值解也能滿足該性質。
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若以歐拉方法來求數值解，則使用不同的步長將會得到不同的結果。第一種，步長\({h=1/4}\)的歐拉法強烈的震盪並且很快離開了圖的邊界。當將步長減半為 \({h=1/8}\)時，得到的結果在圖的范圍以內。但是它依然在\({0}\)附近震盪，並且不可能表示精確的解。
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而梯形法（即兩階段亞丹士-莫耳吞法）表達為
其求得的結果比歐拉法的結果要好很多。如上圖所示，數值結果單調地減少到零，如同精確解一樣。
3. 特性
剛性系統的特色是該系統所有特征值的實部均為負數，並且其中特征值實部絕對值中，最大和最小的比值遠大於1。
4. 穩定區域
- 將龍格－庫塔法應用至測試方程\({y^{'} = ky}\)，可以得到如\({y_{n+1} = \phi(hk)y_n}\)的形式，並可歸納出\({y_n = (\phi(hk))^ny_0}\)，其中\(\phi\)稱為穩定性函數。因此\({\lim_{n \rightarrow \infty}y_n = 0}\)的條件等價於 \({|\phi(hk)| < 1}\)。這啟發了絕對穩定區域（有時簡稱為穩定區域）的定義，亦即集合\({\{z \in \mathbb {C}|\,\,|\phi(z)| < 1\}}\)。
- 若一個方法的穩定區域包含 \({\{z \in \mathbb {C} |\,\,\mathrm {Re} (z) < 0 \}}\)（即左半平面），則稱該方法為A-穩定。
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