量子力學中，薛定諤方程是核心。薛定諤的貓描述了態的概念，但實際研究中，要想細致地研究一個原子，分子，甚至一塊物質，都需要從薛定諤方程的求解開始。下面將會以我的一次作業的題目為例，向大家展示整個求解過程。
薛定諤方程的完整形式為：
以上方程有對時間的微分，還有對空間的微分。而對於定態的薛定諤方程，我們只需考慮某一時刻的波函數，所以直接可將能量算符替代為E（一個常數）。
(1)分段勢能法
對於空間的梯度，如果只是一維情況的話，可以直接將梯度算符改為微分。所以一維定態薛定諤方程就顯得很簡單：
就是一個簡單的二階微分方程。此方程的解想必一眼就可以看出來。就是
這個解是假設U(x)與x無關，是一個常數才得出這個自由波的解。類似與微積分中的方法，對於一個任意勢場函數，我們可以假設在某一個極小的dt范圍內，勢函數是不變的，因此可以將任意一個勢函數用有限個一定寬度的恆定勢場來代替。如下圖所示：
其中的各個小段的波函數就可以表示為
這樣就會有2N個方程，然后利用內部的n-1個邊界條件（界面處波函數連續，波函數的倒數連續），和兩端的銜接（假設入射為1，則A1=1, B1=r； 且最終透射端沒有反射波，AN=t, BN=0. ），就可以寫出2N個線性無關的方程，從而可以將系數都求解出來。
注意，這種情況下，我們無從得知基態的能量值，以及能量的分立的特性。但是從這種角度出發，我們可以很容易計算出波在這樣的勢函數中傳輸特性，可以計算出入射端的反射系數R，以及不同能量所對應的入射波的透射系數T。
下面將以一個例子應用上述關系。
根據上圖中所示的勢函數求解薛定諤方程，得到透射系數和反射系數隨溫度的變化關系為
詳細過程，參見https://github.com/elike-ypq/elike/tree/master/physics
(2)差分法
現在我們從另外一個角度出發，一維定態薛定諤方程如下
在這里，我們要求的是
，可以將
分為N份，采用數值計算方法，將微分方程變成差分方程。參考相應書籍可知
可以化為
對於上述波函數也可以轉化為類似的形式，
所以可以由矩陣T的特征值對應能量，特征向量對應於波函數在每一個節點的解。
大家可以從下面的例子中詳細分析求解的過程
基態和第一激發態的波函數畫圖如下：
可以看出隨着這兩個勢阱遠離，基態和第一激發態的能量差值逐步減小，逐步趨近於只有一個勢阱時所對應基態與第一激發態的差值，所以當兩個原子靠得越近的時候，能量量子化的現象也就越明顯，可以理解為能級之間的排斥作用。
所有代碼參見https://github.com/elike-ypq/elike/tree/master/physics