隨便總結一下，可能有錯...
大概分成三個內容，一般測量、投影測量（物理書上常見）、POVM。POVM涉及到的很多東西還搞不太清楚，因為詳細講解它的書都太數學了，不數學的書講的太籠統，所以只簡單帶過意思意思。
\(\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}\) \(\def\bra#1{\langle#1|}\) \(\def\ket#1{|#1\rangle}\) \(\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}\)
一般測量
一般測量的測量假設是：
測量由一組測量算符\(\{M_m\}\)描述，測量算符須滿足完備性方程$$\sum_mM^\dagger_mM_m=I$$這些算符作用到被測狀態上，指標\(m\)表示測量可能得到的結果。設測量前的狀態為\(\ket{\psi}\)，則測得結果\(m\)的概率為$$p(m)=\bra{\psi}M^\dagger_mM_m\ket{\psi}$$測量后系統的狀態為$$\frac{M_m\ket{\psi}}{\sqrt{\bra{\psi}M^\dagger_mM_m\ket{\psi}}}$$且完備性方程給出了概率和為\(1\)：$$\sum_mp(m)=\sum_m\bra{\psi}M^\dagger_mM_m\ket{\psi}=1$$
以概率\(1\)區分量子狀態
區分量子狀態的問題是這樣敘述的：Alice從一組狀態\(\{\ket{\psi_i}\},(i=1,\cdots,n)\)中隨機抽出一個發送給Bob，Bob需要確定Alice發給他的狀態的指標\(i\).
如果各個量子態\(\{\ket{\psi_i}\},(i=1,\cdots,n)\)是正交的，則Bob可以通過定義一組測量算子\(\{M_i\},(i=0,1,\cdots,n)\)來以概率\(1\)區分所有的量子態。測量算符的定義為：$$M_i=\ket{\psi_i}\bra{\psi_i}\M_0=\sqrt{I-\sum_{i\neq0}M_i^\dagger M_i}$$注意這里每個測量算符都是半正定的，從而是厄米的，所以可以簡單地驗證，確實滿足完備性方程。這樣，設Bob收到的量子態是\(\ket{\psi_j}\)則測得結果\(i\)的概率為$$p(i)=\bra{\psi_j}M_i^\dagger M_m\ket{\psi_j}=\delta_{ij}$$即，發送來\(\ket{\psi_j}\)態，則測得結果為\(j\)的概率為\(1\)，也就是說，以概率\(1\)得到正確結果。
如果各量子態\(\{\ket{\psi_i}\},(i=1,\cdots,n)\)不正交，則可以證明不存在一組測量算符能以概率\(1\)區分各量子態。
證明：要證明的是沒有測量可以區分非正交的量子態\(\ket{\psi_1}, \ket{\psi_2},\cdots\)使用反證法，假設有測量可以做到這一點：如果狀態是\(\ket{\psi_1}\)（或\(\ket{\psi_2},\cdots\)），則測量到\(j\)使得\(f(j)=1\)（或\(f(j)=2,\cdots\)）的概率為\(1\)，這里\(f(j)=i\)表示測得結果\(j\)根據某個對應法則推斷出態的編號是\(i\).
定義$$E_i=\sum\limits_{j:f(j)=i}M^\dagger_jM_j$$則對於抽取出的量子態\(\ket{\psi}\)，測量、推斷得出是第\(i\)態的概率是$$p(i)=\bra{\psi}E_i\ket{\psi}$$根據假設應該有$$\bra{\psi_i}E_i\ket{\psi_i}=1$$由於\(\sum_iE_i=I\)，所以\(\sum_i\bra{\psi_j}E_i\ket{\psi_j}=1\)，由算符的半正定性可得\(\bra{\psi_j}E_i\ket{\psi_j}=\delta_{ij}\)，進而\(\sqrt{E_i}\ket{\psi_j}=0,(i\neq j)\). 對\(j’\neq j\)，設\(\ket{\psi_j}=\alpha\ket{\psi_{j'}}+\beta\ket{\phi}\)，其中\(\ket{\phi}\)和\(\ket{\psi_{j'}}\)正交，由歸一性可知\(|\beta|<1\)，進一步就有\(\sqrt{E_j}\ket{\psi_j}=\beta\sqrt{E_j}\ket{\phi}\)，由此可知$$\bra{\psi_j}E_j\ket{\psi_j}=|\beta|^2\bra{\phi}E_j\ket{\phi}\leqslant|\beta|^2\sum_i\bra{\phi}E_i\ket{\phi}=|\beta|^2\dirac{\phi}{\phi}=|\beta|^2<1$$與假設矛盾。
投影測量
關於量子力學的物理書上所講的測量一般都是投影測量。投影測量的測量假設是這樣描述的：
投影測量由系統狀態空間上的一個代表可觀測量的厄米算符\(M\)描述，且具有譜分解$$M=\sum_mmP_m$$其中\(P_m\)是向本征值\(m\)的本征子空間\(M\)上的投影算符，測量的結果對應於本征值\(m\)。對於狀態\(\ket{\psi}\)，測量得出結果\(m\)的概率為$$p(m)=\bra{\psi}P_m\ket{\psi}$$且測量后狀態變為$$\frac{P_m\ket{\psi}}{\sqrt{p(m)}}$$
投影測量是一般測量的特殊情況。對一般測量加上限制條件：1.\(M_m\)是厄米算符，2.\(M_mM_{m'}=M_m\delta_{mm'}\)則得到投影測量（這時，\(M_m\)就相當於\(P_m\)，注意投影算子的冪等性）。
\(\def\vec#1{\boldsymbol{#1}}\) \(\def\bra#1{\langle#1|}\) \(\def\ket#1{|#1\rangle}\) \(\def\dirac#1#2{\langle#1|#2\rangle}\)
POVM測量
回顧前面兩個不同版本的測量假設，它們都規定了兩件事情：1測量到某結果的概率，2測量到某結果后態的變化。在許多測量中，我們只關心測得的結果，而不管測量以后態如何變化（比方說得出測量結果后, 態就扔掉了），這時可以使用POVM測量（positive operator-valued measure，正定算子取值測度）。
在一般測量的背景下，如果定義$$E_m=M^\dagger_mM_m$$則測得結果\(m\)的概率為$$p(m)=\bra{\psi}E_m\ket{\psi}$$且完備性方程變為\(\sum_mE_m=I\)，這里的\(\{E_m\}\)稱為一個POVM。反過來，假設存在一個POVM\(\{E_m\}\)，測得結果\(m\)的概率由上式給出，則定義\(M_m=\sqrt{E_m}\)，顯然也有\(\sum_m M^\dagger_m M_m=\sum_mE_m=I\)，所以\(\{M_m\}\)構成了一般測量。
更一般地可以對POVM下定義（注意，這里不管測量后態如何改變）：
如果算符\(\{E_m\}\)滿足1.半正定，2完備性\(\sum_mE_m=I\)，則說\(\{E_m\}\)是一個POVM，測量出結果\(m\)的概率為$$p(m)=\bra{\psi}E_m\ket{\psi}$$
可以證明，任何一般測量，如果它的測量算符和對應的POVM相同，即\(M_m=M_m^\dagger M_m\)，那么該一般測量是投影測量:
證明：已知\(M_m=M_m^\dagger M_m\)，兩邊取厄米共軛，得到\(M^\dagger_m=M^\dagger_mM_m\)，即\(M_m^\dagger=M_m\)，即\(M_m\)厄米。至此，只要再證明\(M_mM_{m'}=\delta_{mm'}M_m\)即可完成從一般測量到投影測量的退化。再次由\(M_m=M_m^\dagger M_m\)得到\(M_m^2=M_m\)，由此可知\(M_m\)冪等。進一步，由完備性方程\(\sum_mM^\dagger_mM_m=I\)得到\(\sum_mM_m=I\)，記為\((*)\)式。由\(M_k\)厄米（從而半正定），知其有譜分解$$M_k=\sum_i\lambda_i^{(k)}\ket{i^{(k)}}\bra{i^{(k)}}$$則其平方為$$M_k=\sum_i\lambda_i^{(k)2}\ket{i^{(k)}}\bra{i^{(k)}}$$由冪等性知上面二式相等，因此\(\lambda^{(k)2}=\lambda^{(k)}\)，即\(\lambda^{(k)}=1\)或\(0\)，所以\(M_k\)的譜分解改寫為$$M_k=\sum_{i'}\ket{{i'}^{(k)}}\bra{{i'}^{(k)}}$$其中指標\(i'\)代表那些本征值為\(1\)的，上式記為\((**)\)式。由\((*)\)式可得$$\bra{i'^{(k)}}\sum_kM_k\ket{i'^{(k)}}=1$$把求和拆分得$$\bra{i'^{(k)}}\left(\sum_{k'\neq k}M_{k'}+M_k\right)\ket{i'^{(k)}}=1$$又因為\(M_k\ket{i'^{(k)}}=\ket{i'^{(k)}}\)所以得到$$\bra{i'^{(k)}}\sum_{k'\neq k}M_{k'}\ket{i'^{k}}=0$$由於\(M_k\)都是半正定的，所以上式求和為零意味着每一項都為零，綜上有$$\bra{i'^{(k)}}M_{k'}\ket{i'^{k}}=\delta_{kk'}$$將\(M_{k'}=\sum_{j'}\ket{j'^{(k')}}\bra{j'^{(k')}}\)代入上式得$$\sum_{j'}|\dirac{i'^{(k)}}{j'^{(k')}}|^2=0,(k\neq k')$$求和的每一項都非負，所以有$$\dirac{i'^{(k)}}{j'^{(k')}}=0,(k\neq k')$$所以$$M_kM_{k'}=\left(\sum_{i'}\ket{i'^{(k)}}\bra{i'^{(k)}}\right)\left(\sum_{j'}\ket{j'^{(k')}}\bra{j'^{(k')}}\right)=0,(k\neq k')$$上式結合冪等性，正好是\(M_kM_{k'}=\delta_{kk'}M_k\).
不出錯地區分量子態
前面針對正交的各態，說清楚了如何以概率\(1\)正確地區分量子態，即在正交的情況下，不論給我什么態，我總能正確地區分。但是對於不正交的各態，已經證明，不存在一個測量\(\{M_m\}\)總能正確地區分。但是可以設計測量方案，以一定的概率給出正確的答案，而剩下的概率不給出答案（而不是給出錯誤的答案）。
也就是說，可以構造一個POVM\(\{E_1,E_2,\cdots,E_{m+1}\}\)對於一個從一組線性無關（不一定正交）的態\(\ket{\psi_i},\cdots,\ket{\psi_m}\)中選出的量子態，使得如果測量結果是\(E_i,(i=1,\cdots,m)\)則可以正確地判定選出的狀態是\(\ket{\psi_i}\).
這樣一來，就要求構造一組\(\{E_i\}\)，使得\(\bra{\psi_i}E_i\ket{\psi_i}>0\)而\(\bra{\psi_i}E_j\ket{\psi_i}=0,(i\neq j)\). 構造方法是，對每個指標\(i\)，在系統的狀態空間中選取一個矢量\(\ket{\phi_i}\)滿足對所有的\(j\neq i\)有\(\dirac{\phi_i}{\psi_j}=0\)和\(|\dirac{\phi_i}{\psi_i}|^2>0\). 注意這一點總是可以做到的(如何做到后面說)，不論狀態\(\ket{\psi_i},\cdots,\ket{\psi_m}\)是否足以張成系統的整個狀態空間。在此基礎上，對\(i=1,\cdots,m\)定義\(E_i=\ket{\phi_i}\bra{\phi_i}\)，和\(E_{m+1}=I-\sum_{i=1}^mE_i\)，則既滿足不出錯的條件，也滿足完備性方程。要注意的是\(\bra{\psi_i}E_{m+1}\ket{\psi_i}\)不一定為零，所以進行一次測量有不為零的概率得到結果\(E_{m+1}\)，這並不能給出任何關於量子態的判斷，因此雖然不出錯，但並非總能正確地判斷。
現在說如何做到。我們要從\(\{\ket{\psi_i}\}\)得到\(\{\ket{\phi_i}\}\)，而要求\(\{\ket{\psi_i}\}\)滿足\((1)\dirac{\phi_i}{\phi_j}=\delta_{ij}\), \((2)|\dirac{\phi_i}{\psi_i}|^2>0\), \((3)\) 如果\(i\neq j\)則\(\dirac{\phi_i}{\psi_j}=0\). 為此，令\(\ket{\phi'_i}=\ket{\psi_i}-P_i\ket{\psi_i}\)，其中\(P_i\)是除了\(\ket{\psi_i}\)以外，其余\(m-1\)個矢量張成的空間的投影算符。這樣，可證明\(\ket{\phi'_i}\)滿足后兩條，且當\(i\neq j\)有\(\dirac{\phi'_i}{\phi'_j}=0\)。再令\(\ket{\phi_i}=\frac{1}{\sqrt{\dirac{\phi'_i}{\phi'_i}}}\ket{\phi_i}\)，則上面三條都滿足。那么，投影算符\(P_i\)怎么構造？可以由除了第\(i\)個矢量的剩余\(m-1\)個矢量經過Gram-Schmidt正交化步驟而得到。
一般測量和投影測量的轉化
前面已經說到，附加兩個條件（厄米性和正交性），就可以從一般測量退化到投影測量。但是下面定理表明，通過增加一個輔助子系統並對復合系統進行幺正變換，可以使得一般測量完全轉化為投影測量。
設系統\(Q\)上有一般測量\(\{M_m\}\)。再此基礎上引入假想的輔助系統\(R\)，該系統上有一組標准正交基\(\ket{m}\)，正好與\(Q\)上能測得的結果一一對應。把輔助子系統中的任一狀態記為\(\ket{0}\)，把\(Q\)中待測量的態記為\(\ket{\psi}\)，則復合系統的態為\(\ket{\psi}\ket{0}\)。由於系統\(Q\)上的測量算符已知，為\(\{M_m\}\)，據此定義一個幺正算符\(U\)如下$$U:\quad\ket{\psi}\ket{0}{\rightarrow}\sum_mM_m\ket{\psi}\ket{m}$$該幺正算符定義在復合系統的態空間上，但只在諸如\(\ket{\psi}\ket{0}\)態上是非平凡的（\(\ket{\psi}\)取遍\(Q\)的態空間，而\(\ket{0}\)固定），由測量算符\(\{M_m\}\)的完備性方程，可驗證該算符確實是幺正的。
在進行幺正變換后，對復合系統進行由投影算符\(P_m=I_Q\otimes\ket{m}\bra{m}\)定義的投影測量，依據投影測量假設，測得結果\(m\)的概率為$$p(m)=\sum_i\sum_j\bra{i}\bra{\psi}M_i^\dagger P_mM_j\ket{\psi}\ket{j}$$注意上式中\(P_m=I_Q\otimes\ket{m}\bra{m}\)而\(M_i\)只定義在\(Q\)的態空間上，上式等於$$p(m)=\bra{\psi}M_m^\dagger M_m\ket{\psi}$$這正好是一般測量假設中的兩條內容之一。再次依照投影測量的假設，測量的出結果\(m\)后，系統的態為$$\frac{P_m\sum_iM_i\ket{\psi}\ket{i}}{\sqrt{\bra{\psi}M_m^\dagger M_m\ket{\psi}}}=\frac{M_m\ket{\psi}\ket{m}}{\sqrt{\bra{\psi}M_m^\dagger M_m\ket{\psi}}}$$上面的態是一個直積態，對\(Q\)系統而言是態$$\frac{M_m\ket{\psi}}{\sqrt{\bra{\psi}M_m^\dagger M_m\ket{\psi}}}$$正好是一般測量假設中的另一條內容。
因此通過附加輔助系統，並加以幺正變換，可以用投影測量來達到一般測量，這個結論好像叫做Neumark擴張定理。
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