有關群論_置換群_等的簡單介紹

群

 

群是一個集合G，連同一個運算"·"，它結合任何兩個元素a和b而形成另一個元素，記為a·b。符號"·"是對具體給出的運算，比如整數加法的一般占位符。要具備成為群的資格，這個集合和運算(G,·)必須滿足叫做群公理的四個要求：

1.	封閉性：	對於所有G中a, b，運算a·b的結果也在G中。
2.	結合性：	對於所有G中的a, b和c，等式 (a·b)·c = a· (b·c)成立。
3.	單位元：	存在G中的一個元素e，使得對於所有G中的元素a，等式e·a = a·e = a成立。
4.	逆元：	對於每個G中的a，存在G中的一個元素b使得a·b = b·a = e，這里的e是單位元。

進行群運算的次序是重要的。換句話說，把元素a與元素b結合，所得到的結果不一定與把元素b與元素a結合相同；亦即，下列等式不一定恆成立：

（沒錯就是wiki）

補充：群（G,·）常簡記為群G,a·b常簡記為ab，a的逆元常簡記為；

簡單的說：就是定義了由一個集合G與其上的一個運算·組成的東西（G,·），然后她有如上4個性質；

例如：實數集R（除去0）和R上的乘便組成了群——封閉性，結合性顯然，單位元為1，x的逆元為1/x;

 

這里還要掛上幾個衍生的概念和定理：

 

群的階：

群中集合的元素個數；

由於我們經常研究集合元素個數有限的群，故用“有限群”和“無限群”兩個名詞區分之，且這也使群的階變得有點用了；

 

子群：

對群（G,·），若H是G的子集，且（H,·）是群，則（H,·）是（G,·）的子群；

 

生成集和生成子群：

群G的子集M、所有包含M的G的子群的交構成的子群H，二者是生成集和生成子群的關系，子群H是生成集M的生成子群，記作<M>；

這個定義的含義是：子群H是包含M而又滿足群性質的最小集合；

G的任意有交子群的交構成子群H：

　　只要證明H存在封閉性，單位元，逆元即可（結合律是運算的性質而非集合的性質）

• • 　　單位元：單位元e一定屬於子群的交，她是子群的共有部分，可見e∈H；
  • 　　逆元：所有包含x的子群都包含x的逆元，可見若x∈H，則∈H；
  •  　　封閉性：若a,b∈H，則ab∈H ？ 若a,b∈H，則a,b屬於所有選定的子群，那么ab屬於所有選定的子群，即ab∈H；

　　直觀的講，如果x屬於子群的交，那么x屬於所有子群，那么那些使x滿足群性質的東西也必然是所有子群共有的，於是x在子群的交里面也滿足群的性質；

 

陪集：

鑒於群不一定有交換律，所以分為左陪集和右陪集；

若H是G的一個子群，a∈G；

則aH={ah|h∈H}是H的左陪集，Ha={ha|h∈H}是H的右陪集；

 

在一個陪集上加載原群的運算不見得是群，

以左陪集為例：

求證：

 可以看出(a*h1)*(a*h2)=a*(h1*a*h2);

於是若a*(h1*a*h2)∈aH，則h1*a*h2∈H；

由於h1,h2∈H，故她們的逆元屬於H，則對屬於H的上式，乘h1,h2的逆元，也屬於H；

即a∈H，與題設矛盾；

這個結論說明陪集上加載原群的運算應該只在a屬於H時才是群；

 

正經的定理1.設H是群G的子群，對任意H的兩個左陪集aH和bH，要么aH=bH,要么aH∩bH=∅，對右陪集亦然；

只討論左陪集；

若存在x∈aH∩bH，則設x=ah1=bh2;

那么，對於任意ah(h∈H)有

由於，故對於任意y∈aH,y屬於bH,反之亦然；

於是aH=bH;

對於右陪集亦然；

這個定理是說，隨便找一個G的子群H，H的不相等的（左|右）陪集們不重不漏地包含了G的所有元素；

 

一個符號：

記|G:H|表示G中H的不同右的個數，如，設1為G的子群，且只包含單位元，則|G:1|=|G|，即集合G的大小，也即群G的階；

 

|G:H|=|G|/|H|(這里/是整除)

由於不存在ah1=ah2且h1≠h2（某個不給證明的消去律）所以，所有的H的陪集的大小都等於H的大小,

又由於定理1；

所以|G|=|H||G:H|,即|G:H|=|G|/|H|;

 

正經的定理2.(拉格朗日定理):若H是G的子群，則|G:1|=|G:H||H:1|;

好吧完全是上個引理的翻版么； 

還是要給一個證明：

（感謝度娘。。。證得什么玩意）

 

盡管我們之前的例子中的集合都是仿佛是數集，但是其實對群的大部分研究中，研究的都是集合為（元素是“抽象的事物”的集合）的群；

 如下面要講的——

 

置換群

 

先講置換；

 

 置換：

一個有限集X的置換π是從該有限集映至自身的雙射；

如果我們把G的元素從1到|X|編號，那么置換π可以看做一個1到|X|的一個排列；

“”（百度知道的一個說法）

其中第i個位置上的數設為，表示編號為i的元素變為編號為ai的元素；

記為：

或直接記為這里相當於，由於上種表達方法的第一排往往是1到|X|，便默認是1到|X|，然后把它省掉；

 

置換群：

置換的群；

有限集X的所有置換的個數為|X|!;

設他們構成集合，在這個集合上搭載運算·，表示對原序列依次進行這兩個置換；

於是是個|x|!階群，

因為該群包含了X的所有置換，而顯然是其中一個，封閉；因為沒有不可挽回的置換，故逆元存在；還有單位元，結合律存在......；

但是該計算不滿足交換律

那么的子群顯然也是群，記作；（筆者真變態）

 

幾個概念與定理：

 

軌道與等價類：

原數列集合中的元素β，在置換群G中的所有置換中的像，構成的集合叫做β的軌道，記作,我們也稱其為包括β的等價類；

 

穩定子群（集）與穩定化子：

有限集X中某m個元素構成了X的一個子集A，置換群G中可以使A中所有元素不動的置換構成的子群叫做A的一個穩定子群，又稱穩定集，記為；

該定義在m=1時，需要特別關注，也就是有限集X中的元素k，置換群G中可以使元素k不動的置換構成的子群（對其他元素不做要求），記為G_k，我們也稱其為k的穩定化子；

 

軌道-穩定集定理：

|k^G|*|G_k|=|G|;

證明：

有限集X中的某元素k,其軌道為k^G,穩定化子為G_k，設x∈k^G ,集合S_x={$\pi$|$\pi$∈ G ，$\pi$(k)=x},

1. 證明，若x≠y,設$\pi$₁∈S_x，$\pi$₂∈S_y,$\pi$₁G_k與$\pi$₂G_k無交
2. 證明,對於任意$\pi$₁，$\pi$₂∈S_x,陪集$\pi$₁G_k=$\pi$₂G_k;
3. 於是|k^G|=|G:G_k|,套用拉格朗日定理得證；

 

定理1.不相連輪換相乘時可以交換

（顯然）

 

定理2.每個（非輪換）的置換都可表為不相連輪換之積；每個輪換都可表為對換之積，因此，每個置換都可表為對換之積

（參見《工程數學--線性代數同濟》一書，第一章 行列式 §2 全排列及其逆序數）

 

定理3.每個置換表成對換的乘積時，其對換個數的奇偶性不變

（參見《工程數學--線性代數同濟》一書，第一章 行列式 §2 全排列及其逆序數）

（書大概長這樣）

 

Burnside引理:

設G是目標集[1,n]上的置換群 
c(f_i)是在置換f_i的作用下不動點的個數（即，f_i屬於幾個穩定化子？），也就是長度為1的循環的個數。通過上述置換的變換操作后可以相等的元素屬於同一個等價類。若G將[1,n]划分成L個等價類，則:

$$L={1\over |G|}\sum_{i=1}^{|G|}c(f_i)$$

證明：

設目標集中的元素i，其軌道為i^G,穩定化子為G_i，

整理上式：

$$L={1\over |G|}\sum_{i=1}^n|G_i|$$

$$L=\sum_{i=1}^n{|G_i|\over |G|}$$

由軌道-穩定集定理變形，得

$$L=\sum_{i=1}^n{1\over i^G}$$

再通過軌道和等價類的定義，即可發現上式成立，於是本引理成立；

證畢；

 

需要指出的是，Burnside引理的表述方法顯得更具有一般性，

在她的表述中存在1目標集2置換群3等價類，

注意等價類個數是對於目標集而言的；

如在問題“給出一個正方形，一個旋轉群，兩種顏色，用兩種顏色染正方形的四個角，問有幾種在旋轉群作用下不同的染法”中

當我們使用Burnside引理思考時，

由於等價類個數這個概念是有幾種本質不同的方形，

於是等價類是對於每一個整個正方形而言的，

所以目標集是給所有在不旋轉時不同的染色情況編號，

然后還要把旋轉群轉換為目標集上的置換群（若情況1在旋轉a的作用下變為情況2，則置換a使1變為2...）

然后套用該引理即可；

 

Polya定理：

設G是目標集[1,n]上的置換群，設X是以目標集的排列為元素的集合。
m(f_i)是在置換f_i的作用下循環節的個數，通過上述置換的變換操作后X中可以相等的元素屬於同一個等價類。若G將[1,n]用k種顏色分別進行染色,然后把X划分成L個等價類，則染色后的等價類個數L為：

$$L=\sum_{i=1}^{|G|}k^{m(f_i)}$$

 (未完待續)