群
群是一個在定義運算中封閉的集合，群\(G=(S,*)\),\(S\)表示群中的元素，\(*\)是一個定義於\(S\)中元素的二元運算,且具有以下性質
1.封閉性:\(\forall p1,p2\in G,p1*p2\in G\)
2.結合律:\(p1*(p2*p3)=(p1*p2)*p3\)
3.存在單位元:\(p*e=e*p=p\)
4.存在逆元:\(p1*p2=p2*p1=e\),\(p1,p2\)互為逆元,且逆元唯一
特別的，如果G中元素滿足交換律，則稱其為一個阿貝爾群
群階:\(\mid G\mid=\mid S\mid\),集合中元素個數
對於運算\(p1*p2\),可簡寫為\(p1p2\)，\(p^k\)等價於\(\Pi_{i=1}^kp\)
對於運算\(p1*p2=p1*p3\),存在\(p2=p3\)
運算\((p1*p2)^{-1}\)等於\(p1^{-1}*p2^{-1}\)
子群
集合H是G的子集，若H關於\(*\)封閉，則H稱為G的子群
子群存在與全集相同的逆元和單位元
陪集
對於G,它的子群H的左陪集aH定義為\(\{{ah\mid h\in S}\}\),右陪集同理
陪集還是一個類似的集合，比如\((R,+)\)的子群\((Z,+)\),在R中找一個數，比如2，對Z中每一個數+2后形成的新集合，就稱為2確定的\((R,+)\)中整數子群的左陪集
現在討論右陪集的性質，左陪集同理
這個性質說明可以將群G划分為一個子群互不相交的集合的並，並可以由此推導出拉格朗日定理
\(\mid G\mid=\mid G:H\mid *\mid H\mid\),其中\(G:H\)表示G的子群H的不同右陪集個數
即一個群的子群的個數整除該群的階數
置換
就是在兩個由1到n的集合中的滿射，用
\(A=\)
\((a1,a2......an)\)
\((b1,b2......bn)\)
來表示，\(a_i->b_i\),每個元素之間存在映射關系
一個置換可用循環來簡寫，\((a_1,a_2......a_n)\)等價於
\((a_1,a_2......a_n)\)
\((a_2......a_n,a_1)\)
任何一個置換都可用若干循環的乘積來表示
可以把一個置換分解為從各個點迭代映射到的所有點的集合的乘積
每個這樣的乘積稱為換位(二階循環也可稱為對換)，兩個不相交的換位滿足交換律
並且任意置換也可寫作若干個對換的積
這樣的分解並不唯一，但是他們的奇偶性唯一(指分解為對換)