數據科學【系列2】｜線性代數｜5 特征值和特征向量、基向量、線性變換_嗶哩嗶哩_bilibili
注解：
1.v向量是平面直角坐標系中的任一向量，則它可以由基向量i和j線性表示。
2.基向量的線性組合可以表示出整個平面中的任一向量。
3.一個坐標系相當於是一個參考系統。
4.基向量不一定由相互垂直的單位向量i和j代表，只要是平面中線性無關的兩個向量都可以作為一組基向量。
5.以新的基向量(2 1)和(1 1)作為基向量，也可以建立一個坐標系（參考系）。向量（3,2）在這個參考系下被映射成向量(8,5).
6.如果以新的坐標系作為參考系的話，v向量是(3 2)，假如以原來的坐標系作為參考系的話，那么v向量是(8 5).
7.以(0 1)和(1 0)作為基向量所代表的坐標系下，(3 2)向量是它本來的樣子。因為以(0 1)和(1 0)作為基向量所定義的坐標系或者說空間，沒有發生任何拉伸，旋轉或者扭曲。所以(3 2)向量還是它本身。
8.以(2 1)和(1 1)作為基向量建立的參考系下，(3 2)向量被拉伸了。被旋轉拉伸成了(8 5)向量。(3 2)向量還是(3 2)向量，發生變化的是參考系。
9.(8 5)向量是相對於原始的參考系而言的。
注解：
1.特征向量：eigen vector. eigen在德語中是獨特的，特有的意思。
2.特征向量是反應事物的一個特性和獨有的特征的一個量。
3.等式的左邊是A矩陣乘以一個v向量，這相當於是A對v的一個線性變換。
4.(3 1)和(-2 0)相當於是一組基，這組基可以建立一個平面坐標系。在這個參考系下，向量(2 1)縮放成了(4 2)向量，它剛好是(2 1)向量的2倍。即以(3 1)和(-2 0)為基建立的參考系，作用在向量(2 1)上，使得向量(2 1)的長度變化了2倍，方向沒有發生變化。
5.在以(3 1)和(-2 0)為基建立的這個參考系下，向量(2 1)沒有被旋轉，只是發生了拉伸。這種在某個坐標系下，方向沒有發生改變，只是大小發生了改變的向量，叫做特征向量。放大或者縮小的倍數，叫做特征值。
6.(2 1)向量就是矩陣A所代表的參考系的特征向量，數字2是矩陣A的對應(2 1)特征向量的特征值。
7.矩陣A對向量v做線性變化后，結果（還）是向量v乘以一個常數，v的方向並沒有改變，只是長度發生了拉伸改變。
8.向量所處的空間發生了一定的扭曲變化（由以基向量(0 1)和(1 0)作為基向量所組成的坐標系變成了以(3 1)和(-2 0)為基向量建立的參考系），而向量v本身只是大小發生了變化，方向未變。
9.一個人站在不同的哈哈鏡前面，會發生不同的扭曲程度，但是這個人本身並沒有發生改變，所以特征向量是比較能反應一個事物特性和本質的量。(哈哈鏡相當於是不同的基向量組成的空間，基向量不一樣，空間發生的扭曲也不一樣)。