向量是由在各个维度上的向量相加得来的，
| 笛卡尔坐标系是由向量 1 和向量 0 张成的空间。 这两个向量也叫标准基。 0 1 |
| 2 2 0 2 这个向量是由 0 和 2 两个标准基方向上的向量相加得到的 每个标准基长度看成是1，这两个向量都有2个标准基的长度 |
| 2 3 2+3 3 和 2 两个2维向量相加就是分别将两个维度上的向量相加，其实就是讲两个向量在各个维度上的标准基的个数相加 3+2 |
同理，一个3维向量（x,y,z）是由i轴上的向量（x,0,0）加 j轴上的向量(0,y,0) 加k轴上的向量(0,0,z)得到的。
所以两个3维向量相加就是这两个三维向量在三个轴上的分量分别相加，得到在三个维度上向量，然后再将这三个向量相加。
矩阵A左乘向量v就是在矩阵A中各个向量张成的空间里找到一个向量跟v相对应。例如在2维空间中，v在x轴方向有3个标准基，在y方向有2个标准基，那边在矩阵A中各向量张成的空间里就有这样一个向量w跟v想对应，向量w在第一个向量方向上有3个向量一长度（3个基）分量w1，在第二个向量方向上有2个向量二的长度（2个基）的分量w2，w1和w2相加后就是这个向量w。Av就是把v转换为w。
三维空间里矩阵A=|v1,v2,v3| 向量v Av就等于v1,v2,v3三个向量张成的空间中跟v对应的向量w，如v为(a,b,c),那么w就是由v1向量方向上长度为a|v1|（a个基），v2向量方向上长度为b|v2|（b个基）,v3向量方向上长度为c|v3|（c个基）的三个向量相加得来，即w=av1+bv2+cv3