對於線性相位FIR系統，其單位脈沖響應 \(h(n)\) 必定關於 \(\frac{N-1}{2}\) 偶對稱或奇對稱，其中 \(N\) 為 \(h(n)\) 的長度。如何解釋這一現象，文本進行了一些推導。
基本信號作用於系統
當信號 \(x(n)=e^{j\omega_0 n}\) 進入系統 \(H(e^{j\omega})\) 后，得到輸出是
\(y(n)=x(n)*h(n)=\sum_\limits{k}h(k)x(n-k)=e^{j\omega_0 n}\sum_\limits{k}h(k)e^{-j\omega_0 k}=H(e^{j\omega_0})e^{j\omega_0 n}\)
可以看到，系統對輸入信號的幅度和相位進行了調制，但是不會改變原有頻率
令 \(H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{j\varphi(\omega)}\)，當 \(H(e^{j\omega})\) 滿足 \(H(e^{-j\omega})=H(e^{j\omega})^*\)
那么對於信號 \(x(n)=cos(\omega n)\)，可以得到輸出信號為 \(y(n)=|H(e^{j\omega})|cos(\omega n+\varphi(n))\)
基本信號作用於第一類線性相位系統
如果一個離散時間系統 \(H(z)\) 的相頻響應具有線性的特點，即：\(H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{-jk\omega}\)
那么當信號 \(x(n)=cos(\omega n)\) 進入該系統后，得到的輸出是 \(y(n)=|H(e^{j\omega})|cos(\omega n-k\omega)=|H(e^{j\omega})|cos(\omega(n-k))\)
可以看到，信號 \(x(n)\) 進入系統后，被延遲了 \(k\) 個單位時間
因此，\(y(n)\) 是關於 \(n=k\) 偶對稱的
基本信號作用於第二類線性相位系統
如果系統 \(H(z)\) 的相頻響應特點為 \(H(e^{j\omega})=|H(e^{j\omega})|e^{j(\frac{\pi}{2}- k\omega)}\)
那么當信號 \(x(n)=cos(\omega n)\) 進入該系統后，得到的輸出是
\(y(n)=|H(e^{j\omega})|cos(\omega n-k\omega+\frac{\pi}{2})= -|H(e^{j\omega})|sin(\omega n-k\omega) =-|H(e^{j\omega})|sin(\omega(n-k))\)
可以看到，信號 \(x(n)\) 進入系統后，不僅被延遲了 \(k\) 個單位時間，而且從余弦函數變成了正弦函數
因此，\(y(n)\) 是關於 \(n=k\) 奇對稱的
單位脈沖信號的分解
單位脈沖信號 \(\delta(n)\) 的頻譜恆為 \(1\)，根據傅里葉反變換，可得
\(\delta(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{j\omega n} d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}(e^{j\omega n}+e^{-j\omega n})d\omega=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}cos(\omega n)d\omega\)
可以看到，\(\delta(n)\) 可以分解為一系列 \(cos(\omega n)\) 的組合
單位脈沖信號作用於線性相位FIR系統
FIR系統的單位脈沖響應 \(h(n)\) 的長度是有限的，設 \(h(n)\) 的長度為 \(N\)，令系統的頻率響應函數為
\(H(e^{j\omega})=H_g(\omega)e^{j\theta(\omega)}\)，其中 \(H_g(\omega)\) 的取值范圍是全體實數
當 \(\theta(\omega)\) 滿足上述的兩種線性相位特點時，系統對 \(cos(\omega n)\) 的響應關於 \(n=k\) (奇/偶)對稱，如果 \(H_g(\omega)\) 取負值，那么就意味着原響應再做垂直翻轉，這樣系統響應依舊可以保持對稱性。由於 \(\delta(n)\) 可以分解為一系列的 \(cos(\omega n)\)，因此 \(h(n)\) 也是關於 \(n=k\) (奇/偶)對稱的。
此外，由於 \(h(n)\) 的長度是 \(N\)，且是因果信號，因此 \(h(n)\) 只能在 \(n=0,1,2,...,N-1\) 上為非零值，所以 \(h(n)\) 的對稱點為 \(\frac{N-1}{2}\)