回溯法、子集樹、排列樹、滿m叉樹

顯示圖：

明確給出了圖中的各頂點及邊

隱式圖：

僅給出初始節點、目標節點及產生子節點的條件（一般有問題提議隱含給出）的情況下，構造一個圖。

回溯法：

從初始狀態出發，在隱式圖中以深度優先的方式搜索問題的解。當發現不滿足求解條件時，就回溯，嘗試其他路徑。通俗的說，回溯法就是一種能進則進，進不了就換，換不了就退的基本搜索方法。

 

回溯法的算法框架和思想:

1、回溯法的算法框架及思想

回溯法是一種搜索算法，解決問題時，首先應明確搜索范圍，即問題所有可能解的組成范圍、這個范圍越小越好，且至少包含問題的一個(最優)解。 為了定義搜索范圍，需要明確以下幾個方面:

（1）問題解的形式:回溯法看重問題的解能夠表示成一個n元組(x1,x2...xn)的形式。

（2）顯約束：對分量xi(i=1,2...n)的取值范圍限定。

（3）隱約束:為滿足問題的解而對不同分量之間施加的約束。

（4）解空間:對於問題的一個實例，解向量滿足顯約束的所有n元組構成了該實例的一個解空間。

注意:同一個問題的顯約束可能有多種，相應解空間的大小就會不同，通常情況下，解空間越小，算法效率越高。

 

子集樹：

子集樹是使用回溯法解題時經常遇到的一種典型的解空間樹。

子集樹中所有非葉子節點均有左右兩個分支，我們一般設定左分支為1，右分支為0。樹的根結點表示初始狀態，中間節點表示某種情況下的中間狀態，葉子節點表示結束狀態。分支表示從一個狀態過度到另一個狀態的行為。從根節點到葉結點的路徑表示一個可能解。

示例：

從n個元素中選取一些元素

• 這類子集樹通常有2ⁿ個葉結點，其結點總個數為2ⁿ⁺¹-1。
• 遍歷子集樹的任何算法均需O(2ⁿ)的計算時間。

子集樹形式：（下面以n==3為例）

對於根節點0號元素，它有兩個分支，左邊是1，右邊是0。左邊就代表我們會選擇第0號元素，右邊就代表我們不選取第0號元素。之后的類似。

對於葉節點P1表示：3個元素都選

對於葉節點P2表示：選取元素編號為：0，1

對於葉節點P3表示：選取元素編號為：0，2

......

 

 

排列樹：

排列樹是用回溯法解題時經常遇到的第二種典型的解空間樹。

當所給的問題是從n個元素的排列中找到滿足某種性質的一個排列時，相應的解空間樹就是排列樹。

 

• 排列樹通常有n!個葉結點。
• 因此遍歷排列樹需要O(n!)的計算時間

 

示例：

給你3個元素（1，2，3），它的排列樹如下：

從根節點A，到它的子節點B、C、D這個路徑是來選擇第一個元素，走到B節點代表第一個元素選取的是1，走到C節點代表第一個元素選取的是2，后面的類似

 

 

滿m叉樹：

滿m叉樹是用回溯法解題時經常遇到的第三種典型的解空間樹，也稱為組合樹。

當所給問題的n個元素中每一個元素均有m種選擇，要求確定其中的一種選擇，使得對這n個向量的選擇結果組成的向量滿足某種性質。

n==3的m叉樹

 

 

 

除了葉節點之外，每一個節點都有3個子節點，這就代表的3種選擇