python 回溯法 子集樹模板 系列 —— 10、m着色問題

問題

圖的m-着色判定問題

給定無向連通圖G和m種不同的顏色。用這些顏色為圖G的各頂點着色，每個頂點着一種顏色，是否有一種着色法使G中任意相鄰的2個頂點着不同顏色?

圖的m-着色優化問題

若一個圖最少需要m種顏色才能使圖中任意相鄰的2個頂點着不同顏色，則稱這個數m為該圖的色數。求一個圖的最小色數m的問題稱為m-着色優化問題。

分析

解的長度是固定的，n。若x為本問題的一個解，則x[i]表示第i個節點的塗色編號。

可以將m種顏色看作每個節點的狀態空間。每到一個節點，遍歷所有顏色，剪枝，回溯。

不難看出，可以套用回溯法子集樹模板。

代碼

'''圖的m着色問題'''


# 用鄰接表表示圖
n = 5  # 節點數
a,b,c,d,e = range(n) # 節點名稱
graph = [
    {b,c,d},
    {a,c,d,e},
    {a,b,d},
    {a,b,c,e},
    {b,d}
]

m = 4  # m種顏色

x = [0]*n  # 一個解（n元數組，長度固定）注意：解x的下標就是a,b,c,d,e!!!
X = []     # 一組解


# 沖突檢測
def conflict(k):
    global n,graph,x
    
    # 找出第k個節點前面已經塗色的鄰接節點
    nodes = [node for node in range(k) if node in graph[k]]
    if x[k] in [x[node] for node in nodes]: # 已經有相鄰節點塗了這種顏色
        return True
        
    return False # 無沖突
    

# 圖的m着色（全部解）
def dfs(k): # 到達（解x的）第k個節點
    global n,m,graph,x,X
    
    if k == n: # 解的長度超出
        print(x)
        #X.append(x[:])
    else:
        for color in range(m): # 遍歷節點k的可塗顏色編號（狀態空間），全都一樣
            x[k] = color
            if not conflict(k): # 剪枝
                dfs(k+1)
                
# 測試
dfs(a)   # 從節點a開始

效果圖