回溯法之0-1背包問題

 問題描述：  

     給定n種物品和一背包。物品i的重量是wi，其價值為vi，背包的容量為C。問:應如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大?例如

     形式化描述：給定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∋ ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi達最大.即一個特殊的整數規划問題。

      問題解析：0-1背包問題是子集選取問題。0-1 背包問題的解空間可以用子集樹表示。在搜索解空間樹時，只要其左兒子節點是一個可行節點，搜索就進入左子樹。當右子樹中有可能含有最優解時，才進入右子樹搜索。否則，將右子樹剪去。設r是當前剩余物品價值總和，cp是當前價值；bestp是當前最優價值。當cp+r<=bestp時，可剪去右子樹。計算右子樹上界的更好的方法是將剩余物品依次按其單位價值排序，然后依次裝入物品，直至裝不下時，再裝入物品一部分而裝滿背包。

     例如：對於0-1背包問題的一個實例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。這4個物品的單位重量價值分別為[3,2,3,5,4]。以物品單位重量價值的遞減序裝入物品。先裝入物品4，然后裝入物品3和1.裝入這3個物品后，剩余的背包容量為1，只能裝0.2的物品2。由此得一個解為[1,0.2,1,1]，其相應價值為22。盡管這不是一個可行解，但可以證明其價值是最優值的上界。因此，對於這個實例，最優值不超過22。

     在實現時，由Bound計算當前節點處的上界。類Knap的數據成員記錄解空間樹中的節點信息，以減少參數傳遞調用所需要的棧空間。在解空間樹的當前擴展節點處，僅要進入右子樹時才計算上界Bound,以判斷是否可將右子樹剪去。進入左子樹時不需要計算上界，因為上界預期父節點的上界相同。算法的具體實現如下：

代碼實現：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
//#include <conio.h>
using namespace std;
int n;//物品數量
double c;//背包容量
double v[100];//各個物品的價值　value
double w[100];//各個物品的重量　weight
double cw = 0.0;//當前背包重量　current weight
double cp = 0.0;//當前背包中物品總價值　current value
double bestp = 0.0;//當前最優價值best price
double perp[100];//單位物品價值(排序后) per price
int order[100];//物品編號
int put[100];//設置是否裝入，為1的時候表示選擇該組數據裝入，為0的表示不選擇該組數據
 
 
//按單位價值排序
void knapsack()
{
    int i,j;
    int temporder = 0;
    double temp = 0.0;
 
    for(i=1;i<=n;i++)
        perp[i]=v[i]/w[i]; //計算單位價值（單位重量的物品價值）
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(j=i+1;j<=n;j++)
            if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
        {
            temp = perp[i];  //冒泡對perp[]排序
            perp[i]=perp[i];
            perp[j]=temp;
 
            temporder=order[i];//冒泡對order[]排序
            order[i]=order[j];
            order[j]=temporder;
 
            temp = v[i];//冒泡對v[]排序
            v[i]=v[j];
            v[j]=temp;
 
            temp=w[i];//冒泡對w[]排序
            w[i]=w[j];
            w[j]=temp;
        }
    }
}
 
//回溯函數
void backtrack(int i)
{   //i用來指示到達的層數（第幾步，從0開始），同時也指示當前選擇玩了幾個物品
    double bound(int i);
    if(i>n) //遞歸結束的判定條件
    {
        bestp = cp;
        return;
    }
    //如若左子節點可行，則直接搜索左子樹;
    //對於右子樹，先計算上界函數，以判斷是否將其減去
    if(cw+w[i]<=c)//將物品i放入背包,搜索左子樹
    {
        cw+=w[i];//同步更新當前背包的重量
        cp+=v[i];//同步更新當前背包的總價值
        put[i]=1;
        backtrack(i+1);//深度搜索進入下一層
        cw-=w[i];//回溯復原
        cp-=v[i];//回溯復原
    }
    if(bound(i+1)>bestp)//如若符合條件則搜索右子樹
        backtrack(i+1);
}
 
//計算上界函數，功能為剪枝
double bound(int i)
{   //判斷當前背包的總價值cp＋剩余容量可容納的最大價值<=當前最優價值
    double leftw= c-cw;//剩余背包容量
    double b = cp;//記錄當前背包的總價值cp,最后求上界
    //以物品單位重量價值遞減次序裝入物品
    while(i<=n && w[i]<=leftw)
    {
        leftw-=w[i];
        b+=v[i];
        i++;
    }
    //裝滿背包
    if(i<=n)
        b+=v[i]/w[i]*leftw;
    return b;//返回計算出的上界
 
}
 
 
 
int main()
{
    int i;
    printf("請輸入物品的數量和背包的容量：");
    scanf("%d %lf",&n,&c);
    /*printf("請輸入物品的重量和價值：\n");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("第%d個物品的重量：",i);
        scanf("%lf",&w[i]);
        printf("第%d個物品的價值是：",i);
        scanf("%lf",&v[i]);
        order[i]=i;
    }*/
    printf("請依次輸入%d個物品的重量:\n",n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&w[i]);
        order[i]=i;
    }
 
    printf("請依次輸入%d個物品的價值:\n",n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&v[i]);
    }
 
 
    knapsack();
    backtrack(1);
 
 
    printf("最優價值為：%lf\n",bestp);
    printf("需要裝入的物品編號是：");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(put[i]==1)
            printf("%d ",order[i]);
    }
    return 0;
}

算法效率：

計算上界需要O(n)時間，在最壞情況下有O(2^n)個右兒子節點需要計算上界，故解0-1背包問題的回溯算法所需要的計算時間為O(n2^n)。

運行結果：

 參考文獻：王曉東《算法設計與分析》

                  https://blog.csdn.net/qian2213762498/article/details/79420269?depth_1-