回溯法-01背包問題之中的一個：遞歸模式

一、回溯法

回溯法是一個既帶有系統性又帶有跳躍性的搜索算法。

它在包括問題的全部解的解空間樹中依照深度優先的策略，從根節點出發搜索解空間樹。算法搜索至解空間樹的任一節點時，總是先推斷該節點是否肯定不包括問題的解。假設肯定不包括。則跳過對以該節點為根的子樹的系統搜索，逐層向其原先節點回溯。否則，進入該子樹，繼續按深度優先的策略進行搜索。

運用回溯法解題通常包括下面三個步驟：

· 針對所給問題，定義問題的解空間；

· 確定易於搜索的解空間結構。

· 以深度優先的方式搜索解空間，而且在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。

二、01背包問題描寫敘述

01背包問題，即向容量為M的背包裝載物品，要么放入要么不放入。從n個物品中選取裝入背包的物品，物品i的重量為Wi。價值為Pi。最佳裝載指裝入的物品價值最高，即∑PiXi(i=1..n)取最大值。約束條件為∑WiXi≤M且Xi∈[0,1](1≤i≤n)。

在這個表達式中，需求出Xi的值。

Xi=1表示物品i裝入背包。Xi＝0表示物品i不裝入背包。

· 即推斷可行解的約束條件是：∑WiXi≤M（i=0..n）。Wi>0,Xi∈[0,1](1≤i≤n)

· 目標最大值：max∑PiXi（i=0..n-1）,Pi>0,Xi=0或1（0≤i<n）

0/1背包問題是一個自己選取問題，適合於用子集樹表示0／1背包問題的解空間。

在搜索解空間樹時，僅僅要左兒子節點是一個可行節點。搜索就進入左子樹。在右子樹中有可能包括最優解才進入右子樹搜索，否則將右子樹剪去。

三、關於剪枝函數

設當前剩余物品價值總和為r。當前結點x價值為cp。當前x結點上界函數值為bp。

L為當前已搜索到的答案結點中受益的最大值。當cp+r=bp<L時可剪去以X為根的子樹。

計算右子樹中解上界方法是將剩余物品按單位重量價值排序，一次放入物品直至裝不下為止，再裝入部分未裝入物品直至裝滿背包。由此得到的價值是右子樹解上界。

四、遞歸實現

例如以下圖1所看到的為01背包問題遞歸實現的示意圖。圖2是01背包問題遞歸實現的流程圖。描寫敘述了代碼實現方案。

                                 

圖1 01背包問題遞歸描寫敘述圖                                     圖2 01背包問題遞歸實現流程圖

圖1比較easy理解，是否已拿完物品也就是i<n(i是當前物品序號。n是物品總數目)是否成立，假設成立則遞歸結束並打印輸出路徑。

假設i<n則推斷第i個物品是否能放入背包，假設不能放入。則考慮放置i+1個物品。假設能放入還存在當前第i個放入和不放入兩種情形后對第i+1個的影響。

注意在“放入還是不放入”的部分可考慮增加剪枝函數。

五、遞歸的代碼實現

代碼1 Main函數測試代碼：

public static void Main (string[] args)
		{
            Obj[] objs = new Obj[4];
            objs[0] = new Obj() { Weight = 7, Price = 42 };
            objs[1] = new Obj() { Weight = 3, Price = 12 };
            objs[2] = new Obj() { Weight = 4, Price = 40 };
            objs[3] = new Obj() { Weight = 5, Price = 25 };

            Backtracking_Recursion1 r = new Backtracking_Recursion1();
            r.W = 10;
            r.objs = objs;
            r.Backtracking(0);

            Console.Read();
		}

代碼2Obj物品代碼

public class Obj
    {
        /// <summary>
        /// 物品重量
        /// </summary>
        public int Weight
        {
            get;
            set;
        }
        /// <summary>
        /// 物品價值
        /// </summary>
        public int Price
        {
            get;
            set;
        }
        /// <summary>
        /// 該物品是否放入包內
        /// </summary>
        internal bool Selected
        {
            get;
            set;
        }
    }

代碼3遞歸實現01背包問題

class Backtracking_Recursion1
    {
        #region field
        protected int m_currentWeight = 0;
        protected int m_currentPrice = 0;
        #endregion
        #region property
        /// <summary>
        /// 背包容量
        /// </summary>
        /// <value>默認20</value>
        public int W
        {
            get;
            set;
        }

        public int n
        {
            get
            {
                return objs == null ?
 0 : objs.Length; } } /// <summary> /// 物品，包括重量／價值和數量 /// </summary> /// <value>The objects.</value> public Obj[] objs { get; set; } #endregion public void Backtracking(int i) { if (i >= n) { Printing(); return; } if (objs[i].Weight + m_currentWeight <= W) { m_currentWeight += objs[i].Weight; m_currentPrice += objs[i].Price; objs[i].Selected = true; Backtracking(i + 1); m_currentPrice -= objs[i].Price; m_currentWeight -= objs[i].Weight; } objs[i].Selected = false; Backtracking(i + 1); } /// <summary> /// 輸出路徑 /// </summary> protected void Printing() { Console.Write("<"); for (int i = 0; i < objs.Length; i++) { Console.Write(objs[i].Selected ?
 "1 " : "0 "); } Console.WriteLine(">, price: " + m_currentPrice.ToString() + "\t weight: " + m_currentWeight.ToString()); } }

六執行結果

注：

1 代碼3中Printing()函數調用后可推斷並記錄最優路徑；

2 下文將講述01背包問題回溯法的順序執行方法。並通過模板模式整合兩種不同的實現方案。