0/1背包問題（回溯法）

　　回溯法是一個既帶有系統性又帶有跳躍性的搜索算法。它在包含問題的所有解的解空間樹中，按深度優先策略，從根結點出發搜索解空間樹。算法搜索至解空間樹的任意一結點時，先判斷該結點是否包含問題的解。如果肯定不包含，則跳過對該結點為根的子樹搜索，逐層向其祖先結點回溯；否則 ，進入該子樹，繼續按深度優先策略搜索。

 

問題的解空間

用回溯法解問題時，應明確定義問題的解空間。問題的解空間至少包含問題的一個(最優)解。對於 n=3 時的 0/1 背包問題，可用一棵完全二叉樹表示解空間，如圖所示：

 

求解步驟

1)針對所給問題，定義問題的解空間；

2)確定易於搜索的解空間結構；

3)以深度優先方式搜索解空間，並在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。

常用的剪枝函數：用約束函數在擴展結點處剪去不滿足約束的子樹；用限界函數剪去得不到最優解的子樹。

回溯法對解空間做深度優先搜索時，有遞歸回溯和迭代回溯（非遞歸）兩種方法，但一般情況下用遞歸方法實現回溯法。

 

算法描述

　　解 0/1 背包問題的回溯法在搜索解空間樹時，只要其左兒子結點是一個可行結點，搜索就進入其左子樹。當右子樹中有可能包含最優解時才進入右子樹搜索。否則將右子樹剪去。

 

代碼：

public class Knapsack_Problem01 {
    double m=100; //背包最大容量
    int n=5;  //物品的個數
    int[] w = {10,20,30,40,50}; //第i個物品的重量
    int[] v = {20,30,65,40,60};  //第i個物品的價值
    
    int[] a = new  int[n]; //記錄在樹中的移動路徑,為1的時候表示選擇該組數據，為0的表示不選擇該組數據
    int maxvalue = 0;   //背包的最大權重值
    public static void main(String[] args)
    {
        Knapsack_Problem01 p = new Knapsack_Problem01();
        p.Search(0);
    }
    public void Search(int i)   //i表示遞歸深度
    {
        if(i>=n)
        {
            CheckMax();
        }
        else {
            a[i] = 0;
            Search(i+1);
            a[i] = 1;
            Search(i+1);
        }
    }
    public void CheckMax()
    {
        int weight = 0;
        int value = 0;
        for(int i=0;i<n;i++)  //判斷是否達到上限
        {
            if(a[i] == 1)
            {
                weight = weight + w[i];
                value = value + v[i];
            }
        }
        if(weight <= m)
        {
            if(value >= maxvalue)
            {
                maxvalue = value;
                System.out.print("最大價值是：" + maxvalue +"  ");
                System.out.print("所選取的物品為(1代表選中，0代表不選中)： ");
                for(int j=0;j<n;j++)
                {
                    System.out.print(a[j]);
                    System.out.print(' ');
                }
                System.out.print('\n');
            }

        }
    }
}