摘要：
本章介紹了二叉查找樹的概念及操作。主要內容包括二叉查找樹的性質，如何在二叉查找樹中查找最大值、最小值和給定的值，如何找出某一個元素的前驅和后繼，如何在二叉查找樹中進行插入和刪除操作。在二叉查找樹上執行這些基本操作的時間與樹的高度成正比，一棵隨機構造的二叉查找樹的期望高度為O(lgn)，從而基本動態集合的操作平均時間為θ(lgn)。
1、二叉查找樹
二叉查找樹是按照二叉樹結構來組織的，因此可以用二叉鏈表結構表示。二叉查找樹中的關鍵字的存儲方式滿足的特征是：設x為二叉查找樹中的一個結點。如果y是x的左子樹中的一個結點，則key[y]≤key[x]。如果y是x的右子樹中的一個結點，則key[x]≤key[y]。根據二叉查找樹的特征可知，采用中根遍歷一棵二叉查找樹，可以得到樹中關鍵字有小到大的序列。一棵二叉樹查找及其中根遍歷結果如下圖所示：
書中給出了一個定理：如果x是一棵包含n個結點的子樹的根，則其中根遍歷運行時間為θ(n)。
問題：二叉查找樹性質與最小堆之間有什么區別？能否利用最小堆的性質在O(n)時間內，按序輸出含有n個結點的樹中的所有關鍵字？
2、查詢二叉查找樹
二叉查找樹中最常見的操作是查找樹中的某個關鍵字，除了基本的查詢，還支持最大值、最小值、前驅和后繼查詢操作，書中就每種查詢進行了詳細的講解。
（1）查找SEARCH
在二叉查找樹中查找一個給定的關鍵字k的過程與二分查找很類似，根據二叉查找樹在的關鍵字存放的特征，很容易得出查找過程：首先是關鍵字k與樹根的關鍵字進行比較，如果k大比根的關鍵字大，則在根的右子樹中查找，否則在根的左子樹中查找，重復此過程，直到找到與遇到空結點為止。例如下圖所示的查找關鍵字13的過程：（查找過程每次在左右子樹中做出選擇，減少一半的工作量）
書中給出了查找過程的遞歸和非遞歸形式的偽代碼：
TREE_SEARCH(x,k) if x=NULL or k=key[x] then return x if(k<key[x]) then return TREE_SEARCH(left[x],k) else then return TREE_SEARCH(right[x],k)
ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k) while x!=NULL and k!=key[x] do if k<key[x] then x=left[x] else then x=right[x] return x
（2）查找最大關鍵字和最小關鍵字
根據二叉查找樹的特征，很容易查找出最大和最小關鍵字。查找二叉樹中的最小關鍵字：從根結點開始，沿着各個節點的left指針查找下去，直到遇到NULL時結束。如果一個結點x無左子樹，則以x為根的子樹中，最小關鍵字就是key[x]。查找二叉樹中的最大關鍵字：從根結點開始，沿着各個結點的right指針查找下去，直到遇到NULL時結束。書中給出了查找最大最小關鍵字的偽代碼：
TREE_MINMUM(x) while left[x] != NULL do x=left[x] return x TREE_MAXMUM(x) while right[x] != NULL do x= right[x] return x
（3）前驅和后繼
給定一個二叉查找樹中的結點，找出在中序遍歷順序下某個節點的前驅和后繼。如果樹中所有關鍵字都不相同，則某一結點x的前驅就是小於key[x]的所有關鍵字中最大的那個結點，后繼即是大於key[x]中的所有關鍵字中最小的那個結點。根據二叉查找樹的結構和性質，不用對關鍵字做任何比較，就可以找到某個結點的前驅和后繼。
查找前驅步驟：先判斷x是否有左子樹，如果有則在left[x]中查找關鍵字最大的結點，即是x的前驅。如果沒有左子樹，則從x繼續向上執行此操作，直到遇到某個結點是其父節點的右孩子結點。例如下圖查找結點7的前驅結點6過程：
查找后繼步驟：先判斷x是否有右子樹，如果有則在right[x]中查找關鍵字最小的結點，即使x的后繼。如果沒有右子樹，則從x的父節點開始向上查找，直到遇到某個結點是其父結點的左兒子的結點時為止。例如下圖查找結點13的后繼結點15的過程：
書中給出了求x結點后繼結點的偽代碼:
TREE_PROCESSOR(x) if right[x] != NULL then return TREE_MINMUM(right(x)) y=parent[x] while y!= NULL and x ==right[y] do x = y y=parent[y] return y
定理：對一棵高度為h的二叉查找，動態集合操作SEARCH、MINMUM、MAXMUM、SUCCESSOR、PROCESSOR等的運行時間均為O(h)。
3、插入和刪除
插入和刪除會引起二叉查找表示的動態集合的變化，難點在在插入和刪除的過程中要保持二叉查找樹的性質。插入過程相當來說要簡單一些，刪除結點比較復雜。
（1）插入
插入結點的位置對應着查找過程中查找不成功時候的結點位置，因此需要從根結點開始查找帶插入結點位置，找到位置后插入即可。下圖所示插入結點過程：
書中給出了插入過程的偽代碼：
TREE_INSERT(T,z) y = NULL; x =root[T] while x != NULL do y =x if key[z] < key[x] then x=left[x] else x=right[x] parent[z] =y if y=NULL then root[T] =z else if key[z]>key[y] then keft[y] = z else right[y] =z
插入過程運行時間為O(h)，h為樹的高度。
（2）刪除
從二叉查找樹中刪除給定的結點z，分三種情況討論：
<1>結點z沒有左右子樹，則修改其父節點p[z]，使其為NULL。刪除過程如下圖所示：
<2>如果結點z只有一個子樹（左子樹或者右子樹），通過在其子結點與父節點建立一條鏈來刪除z。刪除過程如下圖所示：
<3>如果z有兩個子女，則先刪除z的后繼y（y沒有左孩子），在用y的內容來替代z的內容。
書中給出了刪除過程的偽代碼：
TREE_DELETE(T,z) if left[z] ==NULL or right[z] == NULL then y=z else y=TREE_SUCCESSOR(z) if left[y] != NULL then x=left[y] else x=right[y] if x!= NULL then parent[x] = parent[y] if p[y] ==NULL then root[T] =x else if y = left[[prarnt[y]] then left[parent[y]] = x else right[parent[y]] =x if y!=z then key[z] = key[y] copy y's data into z return y
定理：對高度為h的二叉查找樹，動態集合操作INSERT和DELETE的運行時間為O(h)。
4、隨機構造二叉查找樹
二叉查找上各種基本操作的運行時間都是O(h)，h為樹的高度。但是在元素插入和刪除過程中，樹的高度會發生改變。如果n個元素按照嚴格增長的順序插入，那個構造出的二叉查找樹的高度為n-1。例如按照先后順序插入7、15、18、20、34、46、59元素構造二叉查找樹，二叉查找樹結構如下所示：
1、前言：
接着學習動態規划方法，最優二叉查找樹問題。如果在二叉樹中查找元素不考慮概率及查找不成功的情況下，可以采用紅黑樹或者平衡二叉樹來搜索，這樣可以在O(lgn)時間內完成。而現實生活中，查找的關鍵字是有一定的概率的，就是說有的關鍵字可能經常被搜索，而有的很少被搜索，而且搜索的關鍵字可能不存在，為此需要根據關鍵字出現的概率構建一個二叉樹。比如中文輸入法字庫中各詞條（單字、詞組等）的先驗概率，針對用戶習慣可以自動調整詞頻——所謂動態調頻、高頻先現原則，以減少用戶翻查次數，使得經常用的詞匯被放置在前面，這樣就能有效地加快查找速度。這就是最優二叉樹所要解決的問題。
2、問題描述
給定一個由n個互異的關鍵字組成的有序序列K={k1<k2<k3<,……,<kn}和它們被查詢的概率P={p1,p2,p3,……,pn}，要求構造一棵二叉查找樹T，使得查詢所有元素的總的代價最小。對於一個搜索樹，當搜索的元素在樹內時，表示搜索成功。當不在樹內時，表示搜索失敗，用一個“虛葉子節點”來標示搜索失敗的情況，因此需要n+1個虛葉子節點{d0<d1<……<dn}，對於應di的概率序列是Q={q0,q1,……,qn}。其中d0表示搜索元素小於k1的失敗結果，dn表示搜索元素大於kn的失敗情況。di（0<i<n）表示搜索節點在ki和k(i+1)之間時的失敗情況。因此有如下公式：
由每個關鍵字和每個虛擬鍵被搜索的概率，可以確定在一棵給定的二叉查找樹T內一次搜索的期望代價。設一次搜索的實際代價為檢查的節點個數，即在T內搜索所發現的節點的深度加上1。所以在T內一次搜索的期望代價為：
需要注意的是：一棵最優二叉查找樹不一定是一棵整體高度最小的樹，也不一定總是把最大概率的關鍵字放在根部。
（3）動態規划求解過程
1）最優二叉查找樹的結構
如果一棵最優二叉查找樹T有一棵包含關鍵字ki，……，kj的子樹T'，那么這棵子樹T’對於對於關鍵字ki，……kj和虛擬鍵di-1，……，dj的子問題也必定是最優的。
2）一個遞歸解
定義e[i,j]為搜索一棵包含關鍵字ki，……，kj的最優二叉查找樹的期望代價，則分類討論如下：
當j=i-1時，說明此時只有虛擬鍵di-1，故e[i,i-1] = qi-1
當j≥i時，需要從ki，……，kj中選擇一個跟kr，然后用關鍵字ki，……，kr-1來構造一棵最優二叉查找樹作為左子樹，用關鍵字kr+1，……，kj來構造一棵最優二叉查找樹作為右子樹。定義一棵有關鍵字ki，……，kj的子樹，定義概率的總和為：
因此如果kr是一棵包含關鍵字ki，……，kj的最優子樹的根，則有：
故e[i,j]重寫為：
最終的遞歸式如下：
3）計算一棵最優二叉查找樹的期望搜索代價
將e[i,j]的值保存到一個二維數組e[1..1+n,0..n]中，用root[i,j]來記錄關鍵字ki，……，kj的子樹的根，采用二維數組root[1..n,1..n]來表示。為了提高效率，防止重復計算，需要個二維數組w[1..n+1,0...n]來保存w(i,j)的值，其中w[i,j] = w[i,j-1]+pj+qj。數組給出了計算過程的偽代碼：
OPTIMAL_BST(p,q,n) for i=1 to n+1 //初始化e和w的值 do e[i,i-1] = qi-1; w[i,i-1] = qi-1; for l=1 to n do for i=1 to n-l+1 do j=i+l-1; e[i,j] = MAX; w[i,j] = w[i,j-1]+pj+qj; for r=i to j do t=e[i,r-1]+e[r+1,j]+w[i,j] if t<e[i,j] then e[i,j] = t; root[i,j] = r; return e and root;
4）構造一棵最優二叉查找樹
根據地第三步中得到的root表，可以遞推出各個子樹的根，從而可以構建出一棵最優二叉查找樹。從root[1,n]開始向下遞推，一次找出樹根，及左子樹和右子樹。
4、編程實現
針對一個具體的實例編程實現，現在有5個關鍵字，其出現的概率P={0.15，0.10，0.05，0.10，0.20}，查找虛擬鍵的概率q={0.05，0.10，0.05，0.05，0.05，0.10}。采用C++語言是實現如下：
#include<iostream> using namespace std; const int N=5; const int MAX=9999999; float p[N+1]={0,0.15,0.10,0.05,0.1,0.20}; float q[N+1]={0.05,0.10,0.05,0.05,0.05,0.10}; float e[N+2][N+1]; int root[N+1][N+1]; float w[N+2][N+1]; void optimal_bst_search_tree(float p[],float q[],int n) { int i; for(i=1;i<=n+1;i++) { e[i][i-1]=q[i-1]; w[i][i-1]=q[i-1]; } int l,j,r; for(l=1;l<=n;l++) { for(i=1;i<=n-l+1;i++) { j=i+l-1; e[i][j]=MAX; w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j]; for(r=i;r<=j;r++) { double t=e[i][r-1]+e[r+1][j]+w[i][j]; if(t<e[i][j]) { e[i][j]=t; root[i][j]=r; } } } } } void print_root() { int i,j; cout<<"各子樹的根："<<endl; for(i=1;i<=N;i++) { for(j=1;j<=N;j++) cout<<root[i][j]<<" "; cout<<endl; } } void construct_optimal_bst(int i,int j) { if(i<=j) { int r=root[i][j]; cout<<r<<" "; construct_optimal_bst(i,r-1); construct_optimal_bst(r+1,j); } } void print_bst(int i,int j) { if(i==1&&j==N) cout<<"root is "<<root[i][j]<<endl; if(i<j) { int r=root[i][j]; if(i!=r) cout<<"left child root "<<root[i][r-1]<<endl; print_bst(i,root[i][j]-1); if(j!=r) cout<<"right child root "<<root[r+1][j]<<endl; print_bst(root[i][j]+1,j); } } int main() { optimal_bst_search_tree(p,q,N); print_root(); cout<<"構造的最優二叉樹："<<endl; construct_optimal_bst(1,5); cout<<endl; print_bst(1,5); }
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