前面說過動態規划最典型的就是解決最優化問題的（具有最優子結構的最優化問題），最優二叉查找樹就是一個典型的最優化問題。
問題描述：
給定一個n元素的中序序列，它可以有卡特蘭數個不同形狀的二叉排序樹。（卡特蘭數的定義及證明參見組合數學）：
，如果我們知道每個鍵的查找概率，怎么來構造一個平均查找代價最小（查找成功）的最優二叉查找樹呢？
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用動態規划來求解，首先要找到它的最優子結構性質，然后根據這個最優子結構來描述和刻畫問題，得到狀態轉移的方程：
1）最優子結構性質：
看看一顆最優二叉查找樹是怎么得到的？逆向思維，如果現在有一棵最優二叉查找樹，root是ak，很容易得出：ak的左右子
樹也是最優二叉查找樹（如果它的子樹不是最優的，那就說明這個子樹還可以繼續調整，那么ak那顆樹就也不是最優的
了）。
2）根據最優子結構性質來描述和刻畫問題
用C[i , j]表示從 i 到 j 的最優二叉查找樹的代價，那么問題就被划分為了n^2個子問題了（頂點號從0計數），假設有n個頂
點，那么我們的目標是要求C[0 , n-1]。（編號從0還是1開始無所謂，在編程的時候注意下標范圍就行了）。
現在根據它的最優子結構來找狀態轉移方程：
從 i 到 j的一個最優二叉查找樹是怎么得到的？（即一個C[i , j]是怎么來的），它是從 i 到 j 之間的頂點中選出一個頂點來做
root，假設選出的這個做root的頂點是 k （i <= k <= j ）,那么顯然有：
這個式子其實可以直接想到，不用那么復雜的推導，它就是要找一個能使得C[i , j]代價最小的 k （這個k的范圍在 i 到 j之
間），而后面為什么要加一個從i到j的概率呢？因為挑出了k后，它作root，每個點的查找長度都增加了1。當然，也有更嚴格
的推導，可以參考下：
3）有了狀態轉移方程，就可以畫個矩陣看看初始條件，以及每個C[i , j]依賴那些值（填表順序）。
初始條件有：C[i , i] = Pi，C[i , i-1] = 0
試探一下一個C[i , j]是怎么來的，就可以看出，應該沿對角線來填。
注意狀態轉移方程里當 k = i 或者 k = j 時，C[i , i - 1] 或者 C[j+1 , j]是沒有定義的，在編程中只需要特殊處理下就
行：對於這種沒有定義的取0，其他的取矩陣中的值。
最后一點，至於具體的實現，tmd書上總喜歡畫一個不是從0開始的表，有時候甚至還橫坐標從0開始，縱坐標從1開始，雖說
是為了填矩陣的方便，但看起來很狗。我一般n規模的問題，就開n * n的矩陣，下表從0到n-1，對超出邊界的做一些特殊處
理就行了，就像上面的C[i , i-1]。看看書上的表（理解意思，具體實現我開的矩陣不一樣，下標控制不一樣）：
它這樣來畫表其實就是為了解決C[i , i-1]不在定義范圍內，為了能直接從矩陣中取值才這么做的。
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上面就構造出了最優二叉查找樹的最優代價的動態規划過程，利用上述狀態轉移方程可以填出所有的C[i , j]。
還有一個問題，跟上一篇文章中提到的一樣，怎么去不僅僅得到C[i , j]這個代價，更要知道對應於這個代價的二叉樹的形
狀？
仍然是構造一個矩陣 A[0...n-1，0...n-1] 來記錄動態規划的過程，每次選出一個 k 作root時，就把 k 記錄下來，即用
A[i , j] = k 表示從 i 到 j 的最優二叉查找樹的root是 k。（它還蘊含從 i 到 k - 1是左子樹，k+1到 j 是右子樹，注意我們
給定的從0到n-1頂點是一個中序序列！）
初始值 A[i , i] = i，表示只有自己的最優二叉查找樹的root就是它自己。最后將得到一個矩陣A。它表達了二叉查找樹的形
狀，當然，還得根據A的含義，從A中獲取從 i 到 j的最優二叉查找樹的形狀。
可以有下列算法，從A中輸出從 i 到 j 的最優二叉查找樹的形狀（輸出它的前序序列，因為中序序列是已知的）：
已知前序序列和中序序列，一個二叉樹的形狀就確定了：
也是用遞歸（最優子結構），其實方法跟上一篇Floyd的也差不多。
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實現：
/*第八章 動態規划 最優二叉查找樹(難！！！)*/
public class OptBST {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
float[] P = {(float) 0.1,(float) 0.2,(float) 0.4,(float) 0.3};
//若返回值是最小代價，測試最小代價是否正確
//System.out.println("輸出最優二叉排序樹的最小代價：\n");
//float result = OptBST(P);
//System.out.println(result);
//若返回值是表達最優二叉排序樹形狀的矩陣，測試矩陣是否正確
System.out.println("輸出表達最優二叉排序樹形狀的矩陣：\n");
int[][] R = OptBST(P);
for(int i = 0;i < R.length;i++)
{
for(int j = 0;j < R.length;j++)
System.out.print(R[i][j] + " ");
System.out.println();
}
}
public static int[][] OptBST(float[] P){
//接受一個中序序列的點的查找概率數組，返回最優的二叉查找樹的代價（注意P中的概率按順序對應於點的中序序列）
int n = P.length; //結點個數
float[][] result = new float[n][n];
int[][] R = new int[n][n]; //表達二叉查找樹形狀的矩陣
for(int i = 0;i < n;i++)
{
result[i][i] = P[i]; //填充主對角線C[i,i] = P[i]
R[i][i] = i; //R[i][j]表示若只構造從i到j的樹，那么root是R[i][j]
}
for(int d = 1;d <= n - 1;d++) //共n-1條對角線需要填充
{
for(int i = 0;i <= n - d - 1;i++) //橫坐標的范圍與對角線編號d的關系
{
int j = i + d; //一旦橫坐標確定后，縱坐標可以用橫坐標與對角線編號表示出來
float min = 1000000;
int root = 0;
for(int k = i;k <= j;k++)
{
float C1 = 0,C2 = 0; //用C1，C2表示result[i,k-1]和result[k+1,j]
if(k > i)
C1 = result[i][k - 1];
if(k < j)
C2 = result[k + 1][j];
if(C1 + C2 < min)
{
min = C1 + C2;
root = k;
}
}
R[i][j] = root; //R[i][j]的值代表從i到j的最優二叉查找樹的根
float sum = 0;
for(int s = i;s <= j;s++)
//sum = sum + P[i]; //你媽啊，一個小錯誤找了半天
sum = sum + P[s];
result[i][j] = sum + min;
}
}
//return result[0][n-1]; //返回C[1,n],最小代價
return R; //返回表達最優二叉排序樹形狀的矩陣
}
}
最優代價的矩陣和表達形狀的矩陣在一起求的，需要哪個就返回哪個值，見代碼。
很容易看出時間復雜度是 n^3（k的選擇需要一個循環） 的，空間復雜度是 n^2的。
運行結果（返回表達二叉查找樹形狀的矩陣R）：
輸出表達最優二叉排序樹形狀的矩陣：
0 1 2 2
0 1 2 2
0 0 2 2
0 0 0 3
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思考：
1，分析最優二叉查找樹的時間復雜度，空間復雜度。（見分析講解）
2，寫一個線性時間的偽代碼，從根表（矩陣A）生成最優二叉查找樹（見分析講解）
3，判斷正誤：一顆最優二叉查找樹的根總是包含概率最高的鍵（錯，很容易舉反例，如果這句話是對的，那還要動態規划干
嗎，那就可以用更簡單的辦法來構造最優二叉排序樹了--直接根據概率選最大值就行了）
4，把最優二叉查找樹（查找成功的代價最小）推廣到成功和不成功總代價最小的情況（easy，改變C[i ,j]的含義，加上不成
功的概率即可）
5，證明：
重要：事實上卡特蘭數就是這樣定義的，（如果后面有機會，我會深入學習下卡特蘭數），該遞推關系的解是由卡特蘭數給
出的（現在都忘了，可以參見《組合數學》 盧開澄 北京大學出版社）。
如果不要求嚴格的證明，根據b（n）的含義，其實很容易寫出上述遞推式。（想一想）
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最后一題：矩陣連乘問題，見下一篇文章，作為一個解題報告。
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總結：
1）怎么去分析一個問題，試圖用動態規划去解決？（先找最優子結構，從最有子結構去刻畫和描述問題）
2）逆向思維去找狀態轉移方程！
3）相對前面的幾個動態規划算法，最優二叉查找樹的填矩陣順序稍顯復雜（沿對角線），直接看遞推式的數學形式可能看不
出來，畫出矩陣，去嘗試一個C[i ,j]是怎么求出來的，就能清晰的看出來。
4）卡特蘭數非常重要，許多問題都是卡特蘭數問題（參見什么叫做professional？），習題5給出了一個很好的引導證明。