動態規划：給n個節點，可以組成多少個不同的二叉搜索樹

96. 不同的二叉搜索樹

給你一個整數 n ，求恰由 n 個節點組成且節點值從 1 到 n 互不相同的二叉搜索樹有多少種？返回滿足題意的二叉搜索樹的種數。

輸入：n = 3
輸出：5

思路

1. 確定dp數組（dp table）以及下標的含義
   dp[i] ：1到i為節點組成的二叉搜索樹的個數為dp[i]。

2. 確定遞推公式
   dp[i] += dp[以j為頭結點左子樹節點數量] * dp[以j為頭結點右子樹節點數量]
   j相當於是頭結點的元素，從1遍歷到i為止。
   所以遞推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 為j為頭結點左子樹節點數量，i-j 為以j為頭結點右子樹節點數量

3. dp數組如何初始化
   初始化，只需要初始化dp[0]就可以了。
   從定義上來講，空節點也是一顆二叉樹，所以初始化dp[0] = 1。

4. 確定遍歷順序
   首先一定是遍歷節點數，從遞歸公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，節點數為i的狀態是依靠 i之前節點數的狀態。
   那么遍歷i里面每一個數作為頭結點的狀態，用j來遍歷。

5. 舉例推導dp數組
   n為5時候的dp數組狀態如圖：
   

代碼

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}