動態規划實例（四）最優二叉搜索樹（Optimal Binary Search Tree）

問題

最優二叉搜索樹（Optimal Binary Search Tree，Optimal BST）問題，形式化定義：給定一個n個不同關鍵字的已排序的序列K=<k₁, k₂, ..., k_n>（k₁<k₂<...<k_n），用這些關鍵字構造一棵二叉搜索樹 —— 對每個關鍵字k_i，都有一個概率p_i表示其搜索頻率。對於不在K中的搜索值構造n+1個”偽關鍵字“d₀, d₁, d₂, ..., d_n —— 偽關鍵字d_i表示所有在k_i和k_i+1之間的值（i=1,2,...,n-1，d₀表示所有小於k₁的值，d_n表示所有大於k_n的值），每個偽關鍵字d_i對應一個概率q_i（搜索頻率）。 

例如，對一個n=5的關鍵字集合及如下的搜索頻率，構造二叉搜索樹。逐點計算的期望搜索耗費（contribution = (depth + 1) * probability）如右下表，從表中得到k₅的搜索概率最高，根節點是k₂。

二叉樹搜索樹的期望耗費：

思路

• 步驟1：最優二叉搜索樹的結構，如果一顆最優二叉搜索樹T有一顆包含關鍵字k_i, ..., k_j的子樹T'，那么T'必然是包含k_i, ..., k_j和偽關鍵字d_i-1, ..., d_j的子問題最優解。
• 步驟2：一個遞歸式，定義w(i, j)是包含關鍵字k_i, ..., k_j的子樹所有概率之和，e[i, j]為期望耗費，則...

 

 

• 步驟3：計算最優二叉搜索樹的期望代價。

實現

def optimal_bst(p,q,n):
    e=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(n+2)]
    w=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(n+2)]
    root=[[0 for j in range(n+1)]for i in range(n+1)]
    for i in range(n+2):
        e[i][i-1]=q[i-1]
        w[i][i-1]=q[i-1]
    for l in range(1,n+1):
        for i in range(1,n-l+2):
            j=i+l-1
            e[i][j]=float("inf")
            w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j]
            for r in range(i,j+1):
                t=e[i][r-1]+e[r+1][j]+w[i][j]
                if t<e[i][j]:
                    e[i][j]=t
                    root[i][j]=r
    return e,root
 
if __name__=="__main__":
    p=[0,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2]
    q=[0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1]
    e,root=optimal_bst(p,q,5)
    for i in range(5+2):
        for j in range(5+1):
            print(e[i][j]," ",end='')
        print()
    for i in range(5+1):
        for j in range(5+1):
            print(root[i][j]," ",end='')
        print() 
    

時間復雜度：T(n)=O(n³)
空間復雜度：S(n)=O(n²)

代碼引自：算法導論程序39--最優二叉搜索樹（Python）_夜空霓虹的博客-CSDN博客_最優二叉搜索樹python