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動態規划算法定義：
動態規划，英文描述為Dynamic programming. 是一種可以把原始問題分解為若干相關聯的子解問題，並通過求取和保存子問題的解，獲得原問題的解。
動態規划算法可以解決的問題通常包含如下特征：
- 重疊子問題
- 最優子結構
對於第一個特征，比較容易理解，即分解的若干子問題，包含着重復的解。舉例如：斐波那契數列，F(n) = F(n-1) + F(n-2)， 求解的F(n-1)的過程中，包含着求解F(n-2)的結果。
對於第二個特征，參考網上的說法為：
假設當前決策結果是f[n],則最優子結構就是要讓f[n-k]最優,最優子結構性質就是能讓轉移到n的狀態是最優的,並且與后面的決策沒有關系,即讓后面的決策安心地使用前面的局部最優解的一種性質。
關鍵字解讀為：
- 當前的決策與后面的決策是無關的，
- f[n-k]是最優的，轉移到f[n]的狀態是最優的
2. 動態規划算法的一般步驟和難點
使用動態規划算法解決問題的一般步驟是:
- 找到問題的最優解的性質，用數學公式或者算法描述
- 拆解子問題，確定問題的遞推結構，保證可以收斂。
用知乎大神們的總結就是：找到問題的狀態描述和狀態轉移方程。
3. 動態規划算法的分類和理解
根據我的理解，以及網上的說法，我把動態規划算法分為三個類別和層次：
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簡單動態規划算法，即狀態方程是用一個維度的變量的描述的，常見的問題如：斐波那契數列，爬台階問題等
爬台階問題問題描述： 有一座高度是10級台階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級台階。要求用程序來求出一共有多少種走法。
狀態描述： 我們使用變量n表示台階的級數，F(n)表示n級台階一共有多少種走法
狀態轉移方程與問題分解： 根據每次能跨越的台階數目：1級台階或者2級台階，因為走到N級台階之前，人一定是處於N-1級台階或者N-2級台階。F（n）的走法，一定是n-1級別的台階的所有的走法和n-2級別台階的所有走法之和。
F（n） = F(n-1) + F(n-2); 關於狀態的分解，更詳細的說明，可以看這篇文章：http://blog.csdn.net/baidu_37107022/article/details/73188963。 作者講的非常的通俗易懂。佩服這么辛苦的編輯。
Java的代碼實現
public static int getSumStep(int n){ if(n < 1){ return 0; } else if(n == 1){ return 1; } else if(n == 2){ return 1; } else { int f1 = 1; int f2 = 1; int f = 0; for(int i=3; i<=n; ++i){ f = f1 + f2; f1 = f2; f2 = f; } return f; } }
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二維的變量變化的動態規划算法，即最優解和遞推關系需要兩個維度變量來描述的，比如01背包問題，兩個字符串的公共子序列問題
這類問題通常需要兩個維度的變量，狀態的描述比較晦澀，不容易理解，遞推關系不是很直觀。我自己的學習方法是牢記一個例子，這里以01背包問題為例：
問題描述：有編號分別為a,b,c,d的四件物品，它們的重量分別是2，3，4，5，它們的價值分別是3，4，5，6，現在給你個承重為8的背包，如何讓背包里裝入的物品具有最大的價值總和？
| 編號 | a | b | c | d |
| w(重量) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| v(價值) | 3 | 4 | 5 | 6 |
這類問題我覺得抽象的比較好的一篇文章是這篇文章：
http://www.cnblogs.com/Christal-R/p/Dynamic_programming.html， 不過我當時是在手機上看到的，好了好久才找到這篇文章。
作者抽象的實在太好了，我覺得我都沒法用語言去寫出這么嚴格的數學公式表達和證明，這里就不贅述了。
下面寫的，僅供自己理解使用， 總結下來就是：
Xi的取值為0，1 ；表示物品是否選取， i的取值為 1，2，3，4表示a,b,c,d4見物品
Wi表示物品的重量， w1=2, 表示 a物品的重量為2
Vi 表示物品的價值， v3 - 5, 表示物品c的價值為5；
其中n 表示 前 n個物品，這個表述是很重要的，如果是第一次思考這個問題，很多人都會卡在這里，
m表示背包的重量；
約束條件：
遞推關系：
第一個公式表示 n == 0 或者 m == 0 , 即物品的數量為0 或者背包的重量為0的時候，可以算是起始條件
第二個公式表示： 表示包的重量小於新增加的物品， 新增加的物品，無法裝入，如下圖的F(2, 2 ) 表示前兩個物品，包的重量2 ， 2 < (w[2] = 3)， 此時F(2,2 )= F(1 , 2) = 3;
第三個公式表示： 包的重量能夠容納w[n]，新增加的物品，這個時候，最大的價值就要在 F(n-1, m) 和 F(n-1, m- Wn) + V[n]) 這兩個價值中選取了。
舉例如下圖打表的 F(4, 8), 因為 8 - (w[n] ，4) > 0 F(4, 8) = max(F(3, 8), F(3,3 ) + v[4]) = 10;
表的過程如下：
java代碼如下：
public static int getMaxValue(int[] wArray, int[] vArray, int bagWeight){ int lenght = wArray.length; // init set zero // manipulator the talbe int [][] result = new int[lenght+1][bagWeight+1]; int [][] bRecord = new int[lenght+1][bagWeight+1]; for(int i=1; i<= lenght; ++i){ for(int j=1;j <= bagWeight; ++j){ if(j<wArray[i-1]){ result[i][j] = result[i-1][j]; bRecord[i][j] = 1; }else{ if( result[i-1][j] > result[i-1][j-wArray[i-1]]+ vArray[i-1]) { result[i][j] = result[i-1][j]; bRecord[i][j] = 1; } else{ result[i][j] = result[i-1][j-wArray[i-1]]+ vArray[i-1]; bRecord[i][j] = 2; } } } } return result[lenght][bagWeight]; //return bRecord; }
需要注意的是因為java數組的索引下標為從0，開始，所以
result[i][j] = result[i-1][j-wArray[i-1]]+ vArray[i-1];
brecord是記錄操作的過程，用於回溯使用，這部分代碼，后續實現。
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帶有額外條件的動態規划問題（這類問題，我暫時還沒有學習）
4. 動態規划與分治法的區別和聯系
分治法是指將問題划分成一些獨立地子問題，遞歸地求解各子問題，然后合並子問題的解而得到原問題的解。
動態規划適用於子問題獨立且重疊的情況,也就是各子問題包含公共的子子問題。動態規划算法對每個子子問題只求解一次，將其結果保存在一張表中，從而避免每次遇到各個子問題時重新計算答案。
分治法主要在於子問題的獨立性，比如排序算法等， 動態規划算法主要適用於處理 子問題重復性和最優子結構的的問題。
目前的理解還比較淺顯，只能先這么記錄了。