宋浩《概率論與數理統計》筆記---2.3.2、連續型隨機變量函數的分布

一、總結

一句話總結：

設X的f_X(x)，y=g(x)，Y=g(X)

第一步：F_Y(x)=F_X(x)，兩邊對x求導

第二步：f_Y(x)=f_X(x)，

 

1、分布函數F(x)和概率密度函數f(x)的關系？

分布函數求導是概率密度函數

概率密度函數積分是分布函數：概率密度函數積分是求面積，那么自然結果是分布函數

 

2、連續型隨機變量函數的分布 的求法？

設隨機變量X的密度函數為f_X(x)，並假設y=g(x)及其一階導數是連續函數，則Y=g(X)是連續型隨機變量，現在來求Y的密度函數f_Y(x)

第一步：建立隨機變量Y的分布函數F_Y(x)與X的分布函數F_X(x)之間的關系，或者求出隨機變量Y的分布函數F_Y(x)

第二步：對F_Y(x)求導便得f_Y(x)

 

 

3、連續型隨機變量函數的分布：例：設隨機變量X的密度函數為f_X(x)，Y=3X+2，求Y的密度函數f_Y(x)？

1、建立隨機變量Y的分布函數F_Y(x)與X的分布函數F_X(x)之間的關系：F_Y(x)=P{Y<=x}=P{3X+2<=x}=P{X<=(x-2)/3}=F_X((x-2)/3)

2、兩邊求導：f_Y(x)=1/3*f_X((x-2)/3)

3、如果知道f_X(x)，直接將它替換成f_Y(x)即可：f_X(x)=1/4，(0<=x<=4)，那么對應的f_X(x)=1/3*1/4，(0<=(x-2)/3<=4)

 

 

4、連續型隨機變量函數的分布 實例的直觀理解？

x的密度函數是均勻分布，f_X(x)=1/4，(0<=x<=4)，Y=3X+2，求Y的密度函數f_Y(x)

就是把f_X(x)=1/4，(0<=x<=4)里面的x用Y=3X+2換成y就好了，特別簡單

 

5、隨機變量分布函數F_Y(x)和F_X(x)？

F_X(x)=P{X<=x}

F_Y(x)=P{Y<=x}

 

6、F_Y(x)=P{Y<=x}中為什么不能寫成F_Y(x)=P{Y<=y}？

因為現在用一維的表示一維的，還是一維，所以變量只有一個x

 

 

7、連續型隨機變量函數的分布 求解本質，比如Y=3X+2？

其實就是原分布的求導過程，你仔細看求解過程就領悟了

1、建立隨機變量Y的分布函數F_Y(x)與X的分布函數F_X(x)之間的關系：F_Y(x)=P{Y<=x}=P{3X+2<=x}=P{X<=(x-2)/3}=F_X((x-2)/3)

2、兩邊求導：f_Y(x)=1/3*f_X((x-2)/3)

這里是均勻分布，就對均勻分布求導，如果是正態分布，就對正態分布求導

 

8、線性和非線性？

線性：2x+3y; x1+x2-x3; x+8y+17z+5

非線性：y=x^2; sinx; 1/y; lnz; tan(x^2+1)

 

 

二、內容在總結中

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