高數准備

本文轉載自查看原文 2020-10-28 17:08 706 數學

一、准備知識

1.數集表示符號：

自然數集：N 代表自然數集（非負整數集）。表示物體個數的數叫自然數，如（0，1，2，3...）。自然數有有序性，無限性。分為偶數和奇數，合數和質數等。
而N*則表示正整數集,英文是natural number。
整數集：Z 來自於德語,德語中的整數叫做Zahlen。（integer）如（-3,-2,-1,0,1,2,3）等這樣的數。整數集是一個數環。整數不包括小數，分數。
有理數集：Q 由於兩個數之比(商)叫做有理數,商的英文是quotient,所以用Q來表示。如,是一個整數a和一個正整數b的比，例如3/8，通則為a/b。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合，整數也可看做是分母為一的分數。【有理數的小數部分是有限或為無限循環的數】。不是有理數的實數稱為【無理數】，【無理數的小數部分是無限不循環的數】。
實數集：R 表示集合理論中的實數集,而復數中的實數部分也以此符號為代表,英文是real number。實數是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點后 n 位，n為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。

2.數軸：

建立數軸后，實數與數軸上點一一對應；建立實數集A，與數軸上某一區間一一對應；

3.開區間：

直線上介於固定的兩點間的所有點的集合（不包含給定的兩點），用(a,b)來表示（不包含兩個端點a和b）。開區間的實質仍然是數集，該數集用符號（a，b）表示，含義一般是在實數a和實數b之間的所有實數，但不包含a和b。相當於{x|a<x<b}，記作（a,b）取值不包括a、b。

（開區間在數軸上用空心點表示）

4.閉區間：

閉區間是數學用語，與開區間相對。

直線上介於固定的兩點間的所有點的集合（包含給定的兩點）。閉區間是直線上的連通的閉集。由於它是有界閉集，所以它是緊致的。

閉區間的函數為小於等於的關系，即【-∞≤a≤+∞（正無窮大到負無窮大）】，在數軸上為實心點。閉區間的余集（就是補集）是兩個開區間的並集。實數理論中有著名的閉區間套定理。

代表符號：[x,y] ，即從x值開始到y值，包含x、y。比如：x的取值范圍是3到5的閉區間，那么用數學語言表示即為 [3,5] ，也就是從3（含）到5（含）之間的數

閉區間數軸上用實心點表示（第1個）：

（各區間數軸表示，符號表示）

5.鄰域：

【鄰域】是一個特殊的區間，以點a為中心點任何開區間稱為點a的鄰域，記作U(a)。

【點a的δ鄰域】：設δ是一個正數，則開區間（a-δ，a+δ）稱為點a的δ鄰域，記作

,點a稱為這個鄰域的中心，δ稱為這個鄰域的半徑。由於

相當於

，因此，

表示與點a的距離小於δ的一切點x的全體。

（）

(鄰域)

點a的去心δ鄰域：有時用到的鄰域需要把鄰域中心去掉，點 a的 δ鄰域去掉中心 a后，稱為點 a的去心 δ鄰域，記作

（表達方法是在U上標一個小的0）,即

,這里

表示

。有時把開區間(a - δ, a)稱為a的左δ鄰域，把開區間(a, a + δ)稱為a的右δ鄰域。

若x的鄰域同時是X中的開集，稱其為x的開鄰域；若它同時是X中的閉集則稱其為x的閉鄰域。

拓撲學解釋：

設 A是拓撲空間( X, τ)的一個子集，點 x∈ A。如果存在集合 U，滿足以下條件：

U是開集，即 U∈ τ；
點x∈ U；
U是 A的子集，

則稱點 x是 A的一個內點，並稱 A是點 x的一個鄰域。若 A是開（閉）集，則稱為開（閉）鄰域。

拓撲空間相關結論：

拓撲空間X，X的子集A是開集，當且僅當A是其中所有點的鄰域。（顯然由此可知，從鄰域公理出發可以等價地定義拓撲空間）。
拓撲空間X，X的子集A和A°，A°是A的開核，當且僅當A° = {x | ∃U∈U(x)，U⊆A}。
拓撲空間X，X的子集A和A’，A’是A的閉包，當且僅當A’ = {x | ∀U∈U(x)，U∩A ≠ ∅}

6.去心鄰域：

去心鄰域即在a的鄰域中去掉a的數的集合，應用於高等數學。在拓撲學中，設A是拓撲空間(X,τ)的一個子集，點x∈A。如果存在集合U，滿足 U 是開集，即 U∈τ；點x∈U；U 是A的子集，則稱點 x 是 A 的一個內點，並稱 A 是點 x 的一個鄰域。

只考慮點a鄰近的點，不考慮點a，即考慮點集{x|a-δ<x<a∨a<x<a+δ}，稱這個點集為點a的去心鄰域，記為，即 。如下圖所示：

圓角=2π ( 這是用弧度制表示的角 )

因為：圓周長 = 2πr

因為：弧度 = 弧長/半徑
360角是一個圓周，弧長是2πr，所以：弧度=2πr/r=2π
所以360度等於： 2π

直角三角形三角函數定義

在直角三角形中，當平面上的三點A、B、C的連線，AB、AC、BC，構成一個直角三角形，其中∠ACB為直角。對∠BAC而言，對邊（opposite）a=BC、斜邊（hypotenuse）c=AB、鄰邊（adjacent）b=AC，則存在以下關系：

基本函數	英文	縮寫	表達式	語言描述	三角形
正弦函數	sine	sin	a/c	∠A的對邊比斜邊
余弦函數	cosine	cos	b/c	∠A的鄰邊比斜邊
正切函數	tangent	tan	a/b	∠A的對邊比鄰邊
余切函數	cotangent	cot	b/a	∠A的鄰邊比對邊
正割函數	secant	sec	c/b	∠A的斜邊比鄰邊
余割函數	cosecant	csc	c/a	∠A的斜邊比對邊