有一些物理現象，如理學中的爆炸、沖擊、碰撞，電學中的放電，閃電雷擊等，它們都有共同的特點：
1）持續時間短
2）取值極大
可以用脈沖函數極限定義沖激信號，形式如下：
$$\delta(t) = \lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{1}{\tau}\left [ u(t + \frac{\tau}{2}) - u(t - \frac{\tau}{2})\right ]$$
脈沖函數如下圖所示
上圖所示的矩形脈沖，寬度為 $\tau$，高度為 $\frac{1}{\tau}$，沖擊函數是上述脈沖處於極限狀態下的函數，即
$$\tau \rightarrow 0 \\
\frac{1}{\tau} \rightarrow \infty \\
p(t) \rightarrow \delta(t)$$
對 $\delta(t)$ 有
$$\delta(t) = \left\{\begin{matrix}
\infty, & t = 0\\
0, & t \neq 0
\end{matrix}\right.$$
可見 $\delta(t)$ 只在 $t = 0$ 時有沖擊，在 $t = 0$ 以外的各處函數值均為 $0$。設這個矩形的面積為 $A$，當 $A = 1$ 時，稱為單位沖擊信號，即：
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt = 1$$
單位沖擊信號的性質：
1）函數 $\delta(t)$ 是一個偶函數，即
$$\delta(t) = \delta(-t)$$
2）抽樣性：利用 $\delta(t)$ 只在 $0$ 處有沖擊得
$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t - t_{0})dt = f(t_{0}) \\
f(t)\delta(t - t_{0}) = f(t_{0})\delta(t - t_{0})$$
3）尺度變換：函數 $\delta(at)$ 相當於上面的矩形脈沖寬度發生了變化，而高度不變。觀察下面兩個圖像：
從圖像可以看出，兩個矩形的高一樣，但底部寬度不同，面積不同，在 $\tau$ 趨於 $0$ 的過程中，矩形的面積保持不變，即左圖矩形面積恆為 $1$，
右圖的面積恆為 $\frac{1}{|a|}$，也就是說，當兩個矩形底部相同的時候，因為面積差 $\frac{1}{|a|}$ 倍，即矩形的高差 $\frac{1}{|a|}$ 倍，因為最終底部寬度都會趨於相等，
即都是 $0$，所以函數值(矩形的高)會差 $\frac{1}{|a|}$ 倍，即
$$\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$$
任何一個信號都可以分解為沖擊信號之和，如下圖
一條曲線可以由折線近似表示，用門信號來限定區間，函數值代表幅度，則有
$$f(t) \approx f(0) \big[ u(t) - u(t - \Delta t) \big] + f(\Delta t)\big[ u(t - \Delta t) - u(t - 2 \Delta t) \big] + \cdots f(k\Delta t)\big[ u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t) \big] + \cdots \\
= \sum_{k = 0}^{+\infty}f(k\Delta t)\big[ u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t) \big]$$
所以
$$f(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k = 0}^{+\infty}f(k\Delta t)\big[ u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t) \big]$$
上面的求和形式和定積分很像，現在做一個變換
$$f(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k = 0}^{+\infty}f(k\Delta t)\big[ u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t) \big] \\
= \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k = 0}^{+\infty}f(k\Delta t)\frac{u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t)}{\Delta t}\Delta t \\
= \int_{0}^{+\infty}f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau$$
這是無窮區間求和。$k\Delta t$ 表示區間 $k\Delta t, (k+1)\Delta t$ 的左端點(區間內一點)，$\Delta t$ 表示區間長度，那么取極限后就是定積分。
線性系統具備以下兩個條件;
1）疊加性：指當幾個輸入信號共同作用於系統時，總的輸出等於每個輸入單獨作用時產生的輸出之和；
2）齊次性：是指當輸入信號增大若干倍時，輸出也相應增大同樣的倍數。
一個沖擊信號經過線性系統便得到沖擊響應，如下圖
根據線性系統的性質有
$$\delta_{1} (t) \rightarrow g_{1}(t) \\
\delta_{2} (t) \rightarrow g_{2}(t) \\
k\delta_{1} (t) \rightarrow kg_{1}(t) \\
s\delta_{2}(t) \rightarrow sg_{2}(t) \\
k\delta_{1}(t) + s\delta_{2}(t)\rightarrow kg_{1}(t) + sg_{2}(t)$$