有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞，电学中的放电，闪电雷击等，它们都有共同的特点：
1）持续时间短
2）取值极大
可以用脉冲函数极限定义冲激信号，形式如下：
$$\delta(t) = \lim_{\tau \rightarrow 0}\frac{1}{\tau}\left [ u(t + \frac{\tau}{2}) - u(t - \frac{\tau}{2})\right ]$$
脉冲函数如下图所示
上图所示的矩形脉冲，宽度为 $\tau$，高度为 $\frac{1}{\tau}$，冲击函数是上述脉冲处于极限状态下的函数，即
$$\tau \rightarrow 0 \\
\frac{1}{\tau} \rightarrow \infty \\
p(t) \rightarrow \delta(t)$$
对 $\delta(t)$ 有
$$\delta(t) = \left\{\begin{matrix}
\infty, & t = 0\\
0, & t \neq 0
\end{matrix}\right.$$
可见 $\delta(t)$ 只在 $t = 0$ 时有冲击，在 $t = 0$ 以外的各处函数值均为 $0$。设这个矩形的面积为 $A$，当 $A = 1$ 时，称为单位冲击信号，即：
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt = 1$$
单位冲击信号的性质：
1）函数 $\delta(t)$ 是一个偶函数，即
$$\delta(t) = \delta(-t)$$
2）抽样性：利用 $\delta(t)$ 只在 $0$ 处有冲击得
$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t - t_{0})dt = f(t_{0}) \\
f(t)\delta(t - t_{0}) = f(t_{0})\delta(t - t_{0})$$
3）尺度变换：函数 $\delta(at)$ 相当于上面的矩形脉冲宽度发生了变化，而高度不变。观察下面两个图像：
从图像可以看出，两个矩形的高一样，但底部宽度不同，面积不同，在 $\tau$ 趋于 $0$ 的过程中，矩形的面积保持不变，即左图矩形面积恒为 $1$，
右图的面积恒为 $\frac{1}{|a|}$，也就是说，当两个矩形底部相同的时候，因为面积差 $\frac{1}{|a|}$ 倍，即矩形的高差 $\frac{1}{|a|}$ 倍，因为最终底部宽度都会趋于相等，
即都是 $0$，所以函数值(矩形的高)会差 $\frac{1}{|a|}$ 倍，即
$$\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$$
任何一个信号都可以分解为冲击信号之和，如下图
一条曲线可以由折线近似表示，用门信号来限定区间，函数值代表幅度，则有
$$f(t) \approx f(0) \big[ u(t) - u(t - \Delta t) \big] + f(\Delta t)\big[ u(t - \Delta t) - u(t - 2 \Delta t) \big] + \cdots f(k\Delta t)\big[ u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t) \big] + \cdots \\
= \sum_{k = 0}^{+\infty}f(k\Delta t)\big[ u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t) \big]$$
所以
$$f(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k = 0}^{+\infty}f(k\Delta t)\big[ u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t) \big]$$
上面的求和形式和定积分很像，现在做一个变换
$$f(t) = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k = 0}^{+\infty}f(k\Delta t)\big[ u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t) \big] \\
= \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\sum_{k = 0}^{+\infty}f(k\Delta t)\frac{u(t - k\Delta t) - u(t - (k + 1)\Delta t)}{\Delta t}\Delta t \\
= \int_{0}^{+\infty}f(\tau)\delta(t - \tau)d\tau$$
这是无穷区间求和。$k\Delta t$ 表示区间 $k\Delta t, (k+1)\Delta t$ 的左端点(区间内一点)，$\Delta t$ 表示区间长度，那么取极限后就是定积分。
线性系统具备以下两个条件;
1）叠加性：指当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；
2）齐次性：是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。
一个冲击信号经过线性系统便得到冲击响应，如下图
根据线性系统的性质有
$$\delta_{1} (t) \rightarrow g_{1}(t) \\
\delta_{2} (t) \rightarrow g_{2}(t) \\
k\delta_{1} (t) \rightarrow kg_{1}(t) \\
s\delta_{2}(t) \rightarrow sg_{2}(t) \\
k\delta_{1}(t) + s\delta_{2}(t)\rightarrow kg_{1}(t) + sg_{2}(t)$$