共軛函數

定義

設函數，定義函數為

此函數稱為函數f的共軛函數，使上述上確界有限，即差值 在dom f有上界的所有構成了共軛函數的定義域，下圖描述了此定義（圖中y即為公式中的t）。

 

xy相當於是以y為斜率且過原點的一根直線，需要找到原函數f(x)和以y為斜率的直線的最大距離點對應的x

函數以及某一，共軛函數是線性函數yx和f(x)之間的最大差值（上圖中虛線），如果f可微，在滿足的點x處差值最大（當對xy-f(x)對x的偏導等於0時，取得最大值）。

性質

函數的共軛一定為凸

解釋：

如下圖窮舉所有的x，看當t固定時，那個x可以使得最大

為了更清楚表述，將畫出來，當帶入不同的x進入時，就表示不同的直線，在給定某一個t時，選擇最大的哪一個。通過選擇不同的t得到如下圖像中紅色曲線部分，可以看出紅色曲線是凸的