對於復數域的矩陣A, (n階），應當明白這個矩陣的特征多項式（n次）一定是有n個解的，那么就有以下的結論：
如果對矩陣A有一個特征值λ0，對應其特征向量α，
有
，那么可以推出
。
分解A = B + Ci， α = β + γi， 定義A，B， C中元素用a, b, c,表示， α， β， γ的坐標對應分量用x， y， z 表示；
於是就有： aij = bij +cij * i; xj = yj + zj * i; 那么就有對於任意的A和α， 針對復數域上的計算，有Aα = （∑a1j*xj, ∑a2j*xj, ……， ∑anj*xj） = ( ∑(b1j + c1j*i)(yj + zj*i), ……∑(bnj + cnj*i)(yj+zj*i)), 不難看出把上面的式子中的加號變成減號，我們可以發現一個比較有用的結論 :
, （一個矩陣的共軛）乘上（一個向量的共軛）等於（
這個矩陣乘上這個向量）的共軛 那么對於上面的式子A α = λ0 * α，有同時對左右進行共軛運算（共軛可以看成是一個映射或者函數），則有了這樣的結論。（把λ0看成λ0乘上單位矩陣I）。
又有若A為實數矩陣的話，有A等於A的共軛，那么就可以看到一個實數矩陣如果有一個復數特征值，那么其共軛值也是A的特征值，兩個共軛特征值的特征向量也共軛。
注：這里矩陣和向量的共軛都是指把虛數部分的系數取相反數。
歐式空間是定義了夾角和內積的線性空間。
定義內積為一個線性空間V到數k的函數， （α， β）= α·β = α * β^T , (乘法是矩陣乘法，點乘是內積）
正交矩陣也有定義： 若有A*AT = I ， 那么A即為正交矩陣，正交矩陣的行向量組和列向量組都是單位正交向量組，且線性無關。
正交：（α， β） = 0， 兩者正交。
因為標准正交基總是便於我們進行一些計算，（比如平面和立體直角坐標系）， 我們總希望把映射定義在一個標准正交基上，於是總希望找到正交相似的對角矩陣，這個矩陣不僅能夠滿足我們對描述映射的簡單化，更能夠使得對應的這些特征向量
求正交矩陣比較好的辦法，先通過特征值找到特征向量，然后用特征向量進行施密特正交化（Schmidt），如果是對稱矩陣，則對其中不同的特征值下的特征向量組分別進行正交化即可.
有幾個結論： 1. 實對稱矩陣一定有n個實數特征值
2. 實對稱矩陣屬於不同特征值的特征向量一定是正交的
3.實對稱矩陣一定正交相似於對角矩陣
雙線性函數：定義在V*V 到數域K的映射（函數），若有對任意的α，β，γ屬於V， f（α，kβ+γ）=k*f（α，β）+f（α，γ）， f（kα+γ， β）= kf（α，β）+f（γ， β），（對兩個分量都是線性映射的關系）
則f為一個V*V上的雙線性函數，由於線性空間和線性映射的特性，一個雙線性函數完全V的基向量所決定。
注：這里的X和Y由於是坐標，他們一定是列向量，也就是說X^T * A * Y最終得到的是一個1*1的函數，行向量乘矩陣乘列向量最終得到了一個數（函數）而不是函數矩陣，這里要千萬注意。
和映射一樣，同一個雙線性函數可能有不同的度量矩陣，表示的是同一個函數（也就是說對兩個向量α， β，盡管兩個坐標可能發生變化，但是這兩個向量作為自變量是不變的，所以函數值事實上也不會變）
這里還引入非退化線性替換的定義：
這個地方結合線性替換就是更換一個基來表示同一個向量（見對線性映射的理解）本來二次型X^T * A * X 看起來很不標准，並不像我們學過的標准形式的圓，橢圓，球，橢球那樣一眼就能判斷幾何形狀，那么這里我們可以通過更換基的方式平移或者拉伸坐標系，這樣就可以轉化非標准形式的二次型為標准形式的二次型，方便我們進行計算和分析，線性變換是指如何把向量坐標X通過基的變換變成另一個基下的坐標Y，過程是乘一個矩陣P， 有Y = P*X， 個人理解非退化線性替換是找到一個線性變換，使得這個變換的結果是X， 也就是X = P * Y, 在這種情況下二次型X^T * A * X = YT * PT * A * P *Y, 不難看出在Y所在的基下對應的度量矩陣是PT * A * P， 而我們知道，實對稱矩陣是一定可以正交對角化的，也就是說我們能夠找到一個對角矩陣diag， 使得PT * A * P = diag。 這樣通過非退化線性替換我們就能夠通過改換基把二次型標准化（注意線性替換是找到一個線性變換也就是把X變成線性變換的形式，找到變換之前的坐標Y）
證明思路： 對任意兩個個向量分別用兩個基來表示求對應的矩陣。可以得出定理。
要分清坐標向量和映射對應矩陣的左乘右乘！（重點就在於不同的坐標表示相同的向量，也就表示了相同的函數）
將合同與相似類比，就發現雙線性函數也就是一種映射。
P：對任意β，f（α1，β）=0.
Q： 對任意α， f（α，β1）=0
滿足p的所有α1構成的集合稱為f的左根， radL f
滿足q 的所有β1構成的集合稱為f的右根，radRf
如果f的左右根都是零子空間，那么f就稱為非退化的，就是僅有零的左根和右根，可以類比可逆矩陣（非奇異矩陣）
度量矩陣可逆，則f非退化。
證明提示：只考慮對V的基α1到αn的雙線性函數的處理， 即定義一個基α1~αn，對應的有f（αi ， αj） = f（αj， αi），所以得證。
二次型就是一種雙線性函數的特例，二次型是一個f（α，α），不難看出，如果α是一個坐標向量的話，這個f（α，α）就變成了一個二次齊次多項式，我們把這種多項式叫做二次型，並且寫成X^T *A * X的形式，這里要注意，一個A可以確定一個二次型，但是一個二次型可能得到不同的矩陣A， 比如f = x1^2 + x^2,它可以是形如
1 0 1 -1
0 1 這樣的矩陣，也有可能是 1 1 這樣的矩陣，但是如果規定A是一個對稱矩陣，那么就可以唯一確定這個A了，二次型在高等代數中指可以建立矩陣和多項式的一一對應關系的對應多項式，也就是說如果沒有聲明，則大部分二次型都指對稱矩陣所對應的二次齊次多項式。
正定矩陣即使滿足對任意向量α， α^T *A* α > 0 的矩陣，可以看到，正定矩陣和正定二次型相互對應。
我們應當注意到正定二次型比較實際的應用就是內積，在歐式空間中的內積計算往往在選定了一組基之后就是一個對坐標向量進行二次型求解的過程。