共軛方程的導出是建立資料同化模型的關鍵,其導出方式有兩種途徑:AFD形式與FDA形式.在特征線計算格式基礎上針對一類較廣泛海洋動力控制方程分析了其兩種共軛方程(AFD形式與FDA形式)之間的關系,並將理論結果應用於波譜共軛方程的討論.
共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線．
共軛雙曲線有共同的漸近線；
共軛雙曲線的四個焦點共圓．
例 過雙曲線的一個頂點的切線交共軛雙曲線於兩點，求證：過交點所作共軛雙曲線的兩切線必通過原雙曲線的另一頂點．
點A′．
方程：x2/a2-y2/b2=1與y2/b2-x2/a2=1互為共軛雙曲線
雙曲線與橢圓有哪些不同？
（1）定義不同，圖形不同。
（2）有兩類特殊的雙曲線，它們有一些特殊的性質。
一類是等軸雙曲線。其主要性質有：a=b，離心率為根號2，兩條漸近線互相垂直，等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。
另一類是共軛雙曲線，其主要性質有：它們有共同的漸近線，它們的四個焦點共圓，它們的離心率的倒數的平方和等於1。
等軸雙曲線是一個方程所對應的幾何圖形。有兩支曲線：而互為共軛雙曲線則是兩個方程所對應的幾何圖形，每個方程各對應兩支曲線。等軸雙曲線也有它的共軛雙曲線。
共軛矩陣
又稱Hermite陣。Hermite陣中每一個第i 行第j 列的元素都與第j 行第i 列的元素的共軛相等。埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角線以復共軛方式對稱, 即是 ai,j=a*j,i。
對於
<math>A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n} </math>
有：
<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>，其中<math>\overline{(\cdot)}</math>為共軛算符。
記做：
<math> A = A^H \quad </math>
例如：
<math>\begin
3&2+i\\ 2-i&1 \end</math>
就是一個Hermite陣。
顯然，Hermite陣主對角線上的元素必須是實數。對於只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關於主對角線對稱，那么它也是Hermite陣。也就是說，實對稱陣是Hermite陣的特例。
性質
若A 和B 是Hermite陣，那么它們的和A+B 也是Hermite陣；而只有在A 和B滿足交換性（即AB = BA）時，它們的積才是Hermite陣。
可逆的Hermite陣A 的逆矩陣A-1仍然是Hermite陣。
如果A是Hermite陣，對於正整數n，An是Hermite陣.
方陣C 與其共軛轉置的和<math>C + C^*</math>是Hermite陣.
方陣C 與其共軛轉置的差<math>C - C^*</math>是skew-Hermite陣。
任意方陣C 都可以用一個Hermite陣A 與一個skew-Hermite陣B的和表示:
<math>C = A+B \quad\mbox\quad A = \frac(C + C^*) \quad\mbox\quad B = \frac(C - C^*).</math>
Hermite陣是正規陣，因此Hermite陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味着Hermite陣的特征值都是實的，而且不同的特征值所對應的特征向量相互正交，因此可以在這些特征向量中找出一組Cn的正交基。
n階Hermite方陣的元素構成維數為n2的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之上的元素有兩個自由度。
如果Hermite陣的特征值都是正數，那么這個矩陣是正定陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定陣。
Hermite序列
Hermite序列（抑或Hermite向量）指滿足下列條件的序列ak（其中k = 0, 1, …, n）：
<math> \Im(a_0) = 0 \quad \mbox \quad a_k = \overline{a_} \quad \mbox k=1,2,\dots,n. </math>
若n 是偶數，則an/2是實數。
實數序列的離散傅里葉變換是Hermite序列。反之，一個Hermite序列的逆離散傅里葉變換是實序列。
對稱矩陣的根據定義判定。A'=A
正定矩陣的判定方法有多種，常用的有：
1。各介順序主子式均大於零
2。所有的秩都大於0.
共軛矩陣的判定根據定義。
如何判定一個矩陣半正定？
1、對於半正定矩陣來說，相應的條件應改為所有的主子式非負。順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子：
2、半正定矩陣
定義：設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列矩陣X有XTAX≥0，就稱A為半正定矩陣。
2.4. A∈Mn（K）是半正定矩陣的充要條件是：A的所有順序主子式大於或等於零。
M的所有順序主子式，也就是順序主子陣的行列式都是正的（西爾維斯特准則）。明確來說，就是考察下列矩陣的行列式：
• M左上角1× 1的矩陣
• M左上角2× 2矩陣
• ...
• M自身。
對於半正定矩陣來說，相應的條件應改為所有的主子式非負。順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。比如以下例子：
半正定矩陣
定義：設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列矩陣X有XTAX≥0，就稱A為半正定矩陣。
2.1． A∈Mn（K）是半正定矩陣的充要條件是：A的正慣性指數等於A的秩。
2.2． A∈Mn（K）是半正定矩陣的充要條件是：存在n階實可逆矩陣T，使TTAT=（）。
2.3. A∈Mn（K）是半正定矩陣的充要條件是：存在n階實矩陣S，使A=STS。
2.4. A∈Mn（K）是半正定矩陣的充要條件是：A的所有順序主子式大於或等於零。
2.5. 若A∈Mn（K）是半正定矩陣，則A*也是半正定矩陣。
對A的特征值全為正數，那么是正定的。
不正定，那么就非正定或半正定。若A的特征值大於等於，則半正定。否則非正定。就這么簡單。其他的你可以根據特征根的相關知識推到。。
正定矩陣是對對稱矩陣而言,不是對稱矩陣,無所謂正定不正定
凡是二次型所對應的矩陣都是對稱矩陣
如何構造對稱正定矩陣
如果對角陣過於特殊，
可取一個行列式不為0的矩陣A，
則它的轉置與它本身乘積即為正定(相合於單位陣)。
該可逆陣的取法可以隨機生成（多數可逆）
或者參考任何一本線代書例題中中求得行列式通式的特殊矩陣如三對角/范德蒙等等。
還可以生成一個可逆對稱矩陣后，加上一個單位矩陣與一個很大的數乘積
共軛矩陣
共軛矩陣又稱Hermite陣。Hermite陣中每一個第i 行第j 列的元素都與第j 行第i 列的元素的共軛相等。埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角線以復共軛方式對稱, 即是 ai,j=a*j,i。
對於
<math>A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n} </math>
有：
<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>，其中<math>\overline{(\cdot)}</math>為共軛算符。
記做：
<math> A = A^H \quad </math>
例如：
<math>\begin{bmatrix}
3&2+i\\ 2-i&1 \end{bmatrix}</math>
就是一個Hermite陣。
顯然，Hermite陣主對角線上的元素必須是實數。對於只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關於主對角線對稱，那么它也是Hermite陣。也就是說，實對稱陣是Hermite陣的特例。
性質
若A 和B 是Hermite陣，那么它們的和A+B 也是Hermite陣；而只有在A 和B滿足交換性（即AB = BA）時，它們的積才是Hermite陣。
可逆的Hermite陣A 的逆矩陣A-1仍然是Hermite陣。
如果A是Hermite陣，對於正整數n，An是Hermite陣.
方陣C 與其共軛轉置的和<math>C + C^*</math>是Hermite陣.
方陣C 與其共軛轉置的差<math>C - C^*</math>是skew-Hermite陣。
任意方陣C 都可以用一個Hermite陣A 與一個skew-Hermite陣B的和表示:
<math>C = A+B \quad\mbox{with}\quad A = \frac{1}{2}(C + C^*) \quad\mbox{and}\quad B = \frac{1}{2}(C - C^*).</math>
Hermite陣是正規陣，因此Hermite陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味着Hermite陣的特征值都是實的，而且不同的特征值所對應的特征向量相互正交，因此可以在這些特征向量中找出一組Cn的正交基。
n階Hermite方陣的元素構成維數為n2的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之上的元素有兩個自由度。
如果Hermite陣的特征值都是正數，那么這個矩陣是正定陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定陣。
Hermite序列
Hermite序列（抑或Hermite向量）指滿足下列條件的序列ak（其中k = 0, 1, …, n）：
<math> \Im(a_0) = 0 \quad \mbox{and} \quad a_k = \overline{a_{n-k}} \quad \mbox{for } k=1,2,\dots,n. </math>
若n 是偶數，則an/2是實數。
實數序列的離散傅里葉變換是Hermite序列。反之，一個Hermite序列的逆離散傅里葉變換是實序列。
共軛轉置矩陣
又稱Hermite陣。Hermite陣中每一個第i 行第j 列的元素都與第j 行第i 列的元素的共軛相等。埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角線以復共軛方式對稱, 即是 ai,j=a*j,i。
對於
<math>A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n} </math>
有：
<math>a_{i,j} = \overline{a_{j,i}}</math>，其中<math>\overline{(\cdot)}</math>為共軛算符。
記做：
<math> A = A^H \quad </math>
例如：
<math>\begin
3&2+i\\ 2-i&1 \end</math>
就是一個Hermite陣。
顯然，Hermite陣主對角線上的元素必須是實數。對於只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關於主對角線對稱，那么它也是Hermite陣。也就是說，實對稱陣是Hermite陣的特例。
性質
若A 和B 是Hermite陣，那么它們的和A+B 也是Hermite陣；而只有在A 和B滿足交換性（即AB = BA）時，它們的積才是Hermite陣。
可逆的Hermite陣A 的逆矩陣A-1仍然是Hermite陣。
如果A是Hermite陣，對於正整數n，An是Hermite陣.
方陣C 與其共軛轉置的和<math>C + C^*</math>是Hermite陣.
方陣C 與其共軛轉置的差<math>C - C^*</math>是skew-Hermite陣。
任意方陣C 都可以用一個Hermite陣A 與一個skew-Hermite陣B的和表示:
<math>C = A+B \quad\mbox\quad A = \frac(C + C^*) \quad\mbox\quad B = \frac(C - C^*).</math>
Hermite陣是正規陣，因此Hermite陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味着Hermite陣的特征值都是實的，而且不同的特征值所對應的特征向量相互正交，因此可以在這些特征向量中找出一組Cn的正交基。
n階Hermite方陣的元素構成維數為n2的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之上的元素有兩個自由度。
如果Hermite陣的特征值都是正數，那么這個矩陣是正定陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定陣。
Hermite序列
Hermite序列（抑或Hermite向量）指滿足下列條件的序列ak（其中k = 0, 1, …, n）：
<math> \Im(a_0) = 0 \quad \mbox \quad a_k = \overline{a_} \quad \mbox k=1,2,\dots,n. </math>
若n 是偶數，則an/2是實數。
實數序列的離散傅里葉變換是Hermite序列。反之，一個Hermite序列的逆離散傅里葉變換是實序列。
共軛轉置
矩陣 A 的共軛轉置A * 定義為:
其中 表示矩陣i行j列上的元素，
表示標量的復共軛。
這一定義也可以寫作：
其中 是矩陣A的轉置，表示對矩陣A中的元素取復共軛。
性質
若矩陣A、B維數相同，則(A + B)* = A* + B*。
(rA)* = r*A*，其中r為復數，r*為r的復共軛。
(AB)* = B*A*，其中A為m行n列的矩陣，B為n行p列矩陣。
(A*)* = A
若A為方陣，則det(A*) = (det A)*，且tr(A*) = (tr A)*
A是可逆矩陣， 當且僅當 A*可逆，且有(A*)−1 = (A−1)*.
A*的特征值是A的特征值的復共軛。
<Ax,y> = <x, A*y>，其中A為m行n列的矩陣，復向量x為n維列向量，復向量y為m維列向量，<•,•>為復數的內積。
共軛復數
兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數(conjugate complex number)。（當虛部不等於0時也叫共軛虛數）復數z的共軛復數記作zˊ。
根據定義，若z＝a＋bi(a，b∈R)，則 zˊ＝a－bi（a,b∈R)。共軛復數所對應的點關於實軸對稱（詳見附圖）。
1.代數特征：
（1）|z|＝|z′|；
（2）z＋z′＝2a（實數），z－z′＝2bi；
（3）z• z′＝|z|^2＝a^2＋b^2（實數）；
2.運算特征：
（1）(z1+z2)′=z1′+z2′
（2） (z1-z2)′=z1′-z2′
（3） (z1•z2)′=z1′•z2′
（4） (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2≠0)
3 模的運算性質：
① | z1•z2| = |z1|•|z2|
②
③┃| z1|－| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2|
| z1－z2| = | z1－z2|，是復平面的兩點間距離公式，由此幾何意義可以推出復平面上的直線、圓、雙曲線、橢圓的方程以及拋物線
ps:z′表示復數z的共軛復數