共軛復根

摘自百度百科

共軛復根是一對特殊根。指多項式或代數方程的一類成對出現的根。若非實復數α是實系數n次方程f(x)=0的根，則其共軛復數α*也是方程f(x)=0的根，且α與α*的重數相同，則稱α與α*是該方程的一對共軛復（虛）根。 ^[1] 

共軛復根經常出現於一元二次方程中，若用公式法解得根的判別式小於零，則該方程的根為一對共軛復根。

共軛復根定義

方程兩個互為共軛復數的根，稱為方程的一對共軛復根。 ^[2]

通常出現在 一元二次方程中。若根的判別式

，方程有一對共軛復根。

根據一元二次方程求根公式 韋達定理：

，當

時，方程無實根，但在 復數范圍內有2個復根。復根的求法為

（其中

是虛數，

）。

由於共軛復數的定義是形如

的形式，稱

與

為共軛復數。

另一種表達方法可用向量法表達：

，

。其中

，tanΩ=b/a。

由於一元二次方程的兩根滿足上述形式，故一元二次方程在

時的兩根為共軛復根。

根與系數關系：

，

。

共軛復根應用

常系數齊次線性微分方程

如果 ^[3]   P(x)，Q(x)都是x的函數。方程

的通解一般來講是不容易求出的，當P(x)，Q(x)為常數時，微分方程

的求解方法如下：

該方程稱為二階常系數齊次線性方程。當r為常數時，

的各階導數都只相差一個常數因子。設

，將其代入方程(1)，得：

消去e ^rx，得微分方程(1)的特征方程為：

r是特征方程(2)的解的充要條件是e ^rx是微分方程(1)的解。

若方程(2)有一對共軛的復根

時，方程(1)的通解為：