設矩陣 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，將矩陣 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行第 $j$ 列元素划去后，剩余的各元素按原來的排列順序組成
的 $n-1$ 階矩陣所確定的行列式稱為元素 $a_{ij}$ 的余子式，記為 $M_{ij}$，並定義它的代數余子式為
$$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$
方陣 $A$ 的各元素的代數余子式 $A_{ij}$ 所構成的如下矩陣
$$A^{*} =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2} \\
... & ... & ... & ... \\
A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn}
\end{bmatrix}$$
稱為 $A$ 的伴隨矩陣。
伴隨矩陣是矩陣理論及線性代數中的一個基本概念,是許多數學分支研究的重要工具。
代數余子式的重要結論：
1）$n$ 階行列式 $D_{n} = |a_{ij}|$ 等於它的任一行(列)的所有元素與其對應的代數余子式的乘積之和。
2）$n$ 階行列式 $D_{n} = |a_{ij}|$ 的任一行(列)的元素與另一行(列)對應元素的代數余子式乘積之和等於零。
證明：
$$D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1}+0+ \cdots + 0 & 0+a_{i2}+ \cdots +0 & \cdots & 0+ \cdots +0+a_{in}\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & a_{i2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix} + \cdots +
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}$$
上面是將第 $i$ 行拆成若干個行向量相加，然后再按行列式的某行(列)向量相加的可拆性質進行拆開即可。
剩下的部分這里不寫。
證畢