伴隨矩陣
對於2×2矩陣來說，它的逆矩陣公式：
對於更高階矩陣，我們也希望使用類似的公式。從2×2的逆矩陣公式可以看出，它的逆矩陣由兩部分組成，其一是行列式的倒數，這意味着矩陣可逆的前提是行列式不為0，問題是另一部分是什么？
仔細觀察
，發現它和代數余子式有一定的關系，對於A來說：
a的代數余子式：
b的代數余子式：
c的代數余子式：
d的代數余子式：
上一節提到過代數余子式的正負號與行列號之和有關，和是奇數，代數余子式是取負號，和是偶數取正號。
由此一來，A的逆矩陣就等於A的行列式的倒數乘以某個由代數余子式組成的矩陣：
上式中的CT就是原矩陣A的伴隨矩陣，它是由A衍生而來的。由於轉置的緣故，伴隨矩陣中的Cij就是原矩陣中Cji的代數余子式。
克萊姆法則
現在把逆矩陣的公式應用到方程中：
似乎有些雜亂無章，進一步看x的每一個分量，會發現x的各個分量都包含A中某列元素的代數余子式。以x1和x2為例：
x1相當於將det(A)按照第一列展開，x2相當於將det(A)按照第二列展開，只不過把它們的展開列替換成了b，相當於：
將x1和x2后面的行列式分別按第1列和第2列展開成代數余子式，就得到了每一個分量的結果。這就是克萊姆法則，也叫克拉默法則。
克萊姆法則有一種常用的記法，在Ax = b中，未知數的系數構成了系數行列式D：
若線性方程組的系數矩陣可逆（非奇異），即系數行列式 D≠0，則線性方程組有唯一解，其每一個分量的解為：
其中Dj是把D中第j列元素對應地換成b中的元素而其余各列保持不變所得到的行列式，比如：
克萊姆法則為方程組的解提供了一個代數表達式，讓你能使用代數運算，而不只是寫算法，但是如果真的用它來解方程將變成一個災難，因為你必須對n+1個行列式求值。克萊姆法則研究了方程組的系數與方程組解的存在性與唯一性關系。與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值。
作者：我是8位的
