線性代數08.Ax=0：可解性和解的結構

本篇為MIT公開課——線性代數 筆記。

這節課將轉入求解 \(Ax=b\) ,可能有解也可能無解，如果有解，就要確定是唯一解還是多解，然后求出所有解。

舉例

以上節課例子為例：

\[x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=b_{1}\\ 2x_{1}+4x_{2}+6x_{3}+8x_{4}=b_{2}\\ 3x_{1}+6x_{2}+8x_{3}+10x_{4}=b_{3}\\ \]

寫成矩陣形式，對增廣矩陣 \([A\, b]\) 消元。

\[\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -b_1-b_2+b_3 \\ \end{array} \right) \]

可解性

消元后方程3，有

\[0=b_3-b_2-b_1 \]

這就是有解的條件。滿足 \(b_1+b_2=b_3\) .

因為行三是前兩行的線性組合。

\(Ax=0\) 有解的條件：\(b\) 必須是 \(A\) 各列的線性組合，即\(b\) 屬於 \(C(A)\).

該例子用另一種方式描述。就是：\(A\) 各行的線性組合得到零行，右側向量同樣的組合必須也是零。

算法

假設\(b=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array} \right)\) ,則有：

\[\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

第一步：求一個特解 \(x_p\)。

方法：

1）將所有自由變量設為0，因為自由變量可以任意取值，設為0方便計算。

2)然后解出主變量。

\[x=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ 0 \\ x_3 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]

回代

\[x_1+2 x_3=1\\ 2 x_3=3 \]

解得特解為：

\[x_p=\left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]

第二步：求出 \(Ax=0\) 零空間 \(x_n\)，將特解與零空間相加就是 \(Ax=b\) 所有的解。即：

\[x=x_p+x_n \]

可以求得：

\[x=\left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0 \\ \end{array} \right)+c \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)+d \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]

完整解是\(Ax=0\) 的零空間沿着一個特解方向平移的結果。

注意完整解不是向量空間。

滿秩

對於 \(m*n\) 矩陣 \(A\) ,秩為 \(r\) ,存在

\[r≤m，r≤n \]

滿秩分別對行列有兩種情況。

列滿秩

列滿秩表示為 \(r=n\) 。

\(n\) 個主變量，0個自由變量。 零空間 \(N(A)\) 只有一個零向量，因為沒有自由變量可以賦值。

\(Ax=b\) 唯一解。即 \(x=x_p\) .

此時只有0或1個解。

舉例

上下消元后除以主元后化1：

\[A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)=R \]

零空間除了0外，沒有其他使得列的線性組和為0.所以\(Ax=b\) 的所有解的結構只有特解。

\(Ax=b\) 並不總是有解，只有 \(b\) 是\(A\) 各列的線性組合時才有解。

行滿秩

行滿秩表示為 \(r=m\) 。

可解性，只要滿足消元時不會出現零行即可，因為

\(Ax=b\) 對於所有的 \(b\) 都有解。

行滿秩，有 \(m\) 個主變量，\(n-m\) 個自由變量。舉例

\[A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{17}{5} & \frac{14}{5} \\ \end{array} \right)=R \]

\(\left( \begin{array}{cc} -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{17}{5} & \frac{14}{5} \\ \end{array} \right)\) 即為 \(-F\) ,將構成零空間矩陣。

滿秩方陣

滿秩方陣表示為 \(r=m=n\) 。這種情況一定出現在方陣上。

\[A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow R=I \]

\(A\) 可逆。\(Ax=0\) 零空間 只有零向量。\(Ax=b\) 對於所有的 \(b\) 都有解。但是 \(x\) 唯一解。

總結

矩陣的秩決定了方程組解的數目。

1.r=m=n

\(R=I\),

\(Ax=b\) 唯一解。

2.r=n<m

\(R=\left( \begin{array}{c} I \\ 0 \\ \end{array} \right)\)

\(Ax=b\) 有0或者1個解。

3.r=m<n

\(R=(IF)\) ,\(I\) 可能都在前面，也可能\(I\) 和 \(F\) 相間交叉出現。

\(Ax=b\) 無窮多解。因為總有零空間處理。

3.r<m,r<n

\(R=\left( \begin{array}{c} IF \\ 00 \\ \end{array} \right)\)

\(Ax=b\) 要么無解，因為有些 \(b\) 不滿足 “0=0”，要么無窮解。