卷積基本定義

一、總結

一句話總結：

A、【兩個函數f 和g 生成第三個函數】：卷積(英語：Convolution)是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學算子

B、【重疊部分函數值乘積對重疊長度的積分】：函數f 與g經過翻轉和平移的重疊部分函數值乘積對重疊長度的積分

C、卷積公式：$$\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( \tau ) g ( x - \tau ) d \tau$$

在泛函分析中，卷積(英語：Convolution)是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學算子，表征函數f 與g經過翻轉和平移的重疊部分函數值乘積對重疊長度的積分。

 

二、卷積基本定義

轉自或參考：卷積_百度百科
https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%B7%E7%A7%AF/9411006?fr=aladdin

 

在泛函分析中，卷積、旋積或摺積(英語：Convolution)是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學算子，表征函數f 與g經過翻轉和平移的重疊部分函數值乘積對重疊長度的積分。

 

簡單定義：卷積是 分析數學中一種重要的 運算。

設: f( x), g( x)是R1上的兩個可積函數，作積分：

可以證明，關於幾乎所有的實數 x，上述積分是存在的。這樣，隨着 x的不同取值，這個積分就定義了一個新函數 h(x)，稱為函數 f與 g的卷積，記為 h(x)=(f*g)(x)。

容易驗證， (f * g)(x) = (g * f)(x)，並且 (f * g)(x)仍為 可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。

卷積與傅里葉變換有着密切的關系。利用一點性質，即兩函數的傅里葉變換的乘積等於它們卷積后的傅里葉變換，能使 傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。

由卷積得到的函數 f*g一般要比 f和 g都光滑。特別當 g為具有 緊致集的 光滑函數， f為局部可積時，它們的卷積 f * g也是光滑函數。利用這一性質，對於任意的 可積函數 f，都可以簡單地構造出一列逼近於 f的 光滑函數列 fs，這種方法稱為函數的光滑化或 正則化。

卷積的概念還可以推廣到 數列、 測度以及 廣義函數上去。