卷积基本定义

一、总结

一句话总结：

A、【两个函数f 和g 生成第三个函数】：卷积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子

B、【重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分】：函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分

C、卷积公式：$$\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( \tau ) g ( x - \tau ) d \tau$$

在泛函分析中，卷积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。

 

二、卷积基本定义

转自或参考：卷积_百度百科
https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%B7%E7%A7%AF/9411006?fr=aladdin

 

在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。

 

简单定义：卷积是 分析数学中一种重要的 运算。

设: f( x), g( x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数 x，上述积分是存在的。这样，随着 x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数 h(x)，称为函数 f与 g的卷积，记为 h(x)=(f*g)(x)。

容易验证， (f * g)(x) = (g * f)(x)，并且 (f * g)(x)仍为 可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使 傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数 f*g一般要比 f和 g都光滑。特别当 g为具有 紧致集的 光滑函数， f为局部可积时，它们的卷积 f * g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的 可积函数 f，都可以简单地构造出一列逼近于 f的 光滑函数列 fs，这种方法称为函数的光滑化或 正则化。

卷积的概念还可以推广到 数列、 测度以及 广义函数上去。