泰勒公式是高等數學中的一個非常重要的內容，它將一些復雜的函數逼近近似地表示為簡單的多項式函數，泰勒公式這種化繁為簡的功能，
使得它成為分析和研究許多數學問題的有力工具。
定義：函數 $f(x)$ 在含 $x_{0}$ 的某個開區間 $(a,b)$ 內具有直到 $n + 1$ 階導數，則對任意的 $x \in (a,b)$ 有
$$f(x) = \frac{f(x_{0})}{0!} + \frac{f^{'}(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f^{''}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x)$$
觀察式子可知，泰勒公式是以某個 $n+1$ 階可導點 $x_{0}$ 的各階導數為系數，$x-x_{0}$ 為冪次項所構成的一個多項式。
其中 $x_{0}$ 是泰勒公式的展開點，即逼近的時候是從函數圖像上的某個點展開，剛開始肯定是 $x_{0}$ 鄰域逼近效果好，隨着階數擴大
逼近的程度逐漸擴大到整個函數。如圖，只有一階展開的時候，泰勒展開式就是 $x_{0}$ 點的切線，相當於在無限趨於 $x_{0}$ 情況下的逼近。
一般我們保留一些低階的部分，去掉高階的，這樣的泰勒部分展開反映的是函數在 $x_{0}$ 處的局部性質。
展開式也可以寫成其它形式，如
$$f(x_{0} + h) = \frac{f(x_{0})}{0!} + \frac{f^{'}(x_{0})}{1!}h + \frac{f^{''}(x_{0})}{2!}h^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}h^{n} + R_{n}(x)$$
這里的 $R_{n}(x)$ 即為誤差，因為使用多項式函數在某可導的點展開，逼近給定函數，最后肯定會有一點誤差，我們稱之為余項。
余項有幾種不同的形式：
1）拉格朗日余項：這個余項的需要 $n+1$ 階導數，其形式為
$$R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$$
其中 $\xi$ 介於 $x$ 和 $x_{0}$ 之間。
2）佩亞諾余項：其形式為
$$R_{n}(x) = o((x-x_{0})^{n})$$
那這個公式怎么來的呢？下面是一種思路。
我們知道導函數的公式是這樣子的：
$$f^{'}(x_{0}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}$$
去掉極限符號，引入誤差得 $\alpha (x)$，$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \alpha (x) = 0$：
$$\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} = f^{'}(x_{0}) + \alpha (x) \\
\therefore \; f(x) - f(x_{0}) = f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + \alpha (x) \cdot (x-x_{0}) \\
\therefore \; f(x) = f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + \alpha (x) \cdot (x-x_{0})$$
又
$$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{\alpha (x)(x-x_{0})}{x-x_{0}} = 0$$
所以記
$$o(x-x_{0}) = \alpha (x) \cdot (x-x_{0}) \\
\therefore \; f(x) = f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + o(x-x_{0})$$
很明顯，上面這個式子就是一階泰勒公式。
那么如何得到二階的呢？
先比較一下二階泰勒和一階泰勒形式上的差別。它們前兩項都是一樣的，只不過二階的又多出了一項。高階無窮小的記號實際上是一個「收納筐」，
它里面裝着很多隱藏着的東西。如此，我們猜測，二階泰勒多出來的這一項，一定是從一階泰勒那個高階無窮小中「分析」出來的。
對余項進行分析，像把它變成一個 $x-x_{0}$ 的平方項和一個誤差項的和，很明顯想到做極限，即
$$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{o(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x) - f(x_{0}) - f^{'}(x_{0})(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} = \lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f^{'}(x) - f^{'}(x_{0})}{2(x-x_{0})} = \frac{1}{2}f^{''}(x)$$
去掉極限符號，引入誤差 $\alpha_{1} (x)$，$\lim_{x\rightarrow x_{0}} \alpha_{1} (x) = 0$，得
$$\frac{o(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} = \frac{1}{2}f^{''}(x) + \alpha_{1} (x) \\
\therefore \; o(x-x_{0}) = \frac{1}{2}f^{''}(x)(x-x_{0})^{2} + \alpha_{1} (x)(x-x_{0})^{2}$$
代入一階泰勒公式中，有：
$$f(x) = f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{1}{2}f^{''}(x)(x-x_{0})^{2} + \alpha_{1} (x)(x-x_{0})^{2} \\
= f(x_{0}) + f^{'}(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{1}{2}f^{''}(x)(x-x_{0})^{2} + o((x-x_{0})^{2})$$
這就是二階泰勒公式！其余更高階項可如法炮制。