泰勒(Taylor)公式
\(\begin{aligned}f\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}\dfrac {f^{(i)}\left( x_{0}\right) }{i!}\left( x-x_{0}\right) ^{i}\end{aligned}\)
其中\(f^{(i)}\)表示將\(f\)進行\(i\)階求導
該公式表示將\(f\)在\(x_0\)處展開，\(x_0\)任取
\(e^x\)的泰勒展開
\(\begin{aligned}e^x=\sum ^{\infty }_{i=0}\dfrac{x^i}{i!}\end{aligned}\)
令\(f(x)=e^x\)，把其在\(0\)處展開
則有\(\begin{aligned}f\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{i=0}\dfrac {f^{(i)}\left( 0\right) }{i!}\left( x-0\right) ^{i}=\sum ^{\infty }_{i=0}\dfrac{x^i}{i!}\end{aligned}\)
牛頓迭代
\(f\equiv f_{0}-\dfrac {g\left( f_{0}\right) }{g'\left( f_{0}\right) }\left(\ mod\ x^{2n}\right)\)
有一個關於多項式 \(f\) 的方程\(g(f)=0\)，其中\(f\) 是一個未知的形式冪級數。
假如我們已知 \(f\) 的前 \(n\) 項 \(f_0\) 則有
\(f\equiv f_{0}\left(\ mod\ x^{n}\right)\)
\(\begin{aligned}0=g\left( f\right) &=g\left( f_{0}\right) +g'\left( f_{0}\right)(f-f_0)+\dfrac{g''(f_0)}{2}(f-f_0)^2+\cdots\\ &\equiv g(f_0)+g'(f_0)(f-f_0) (\ mod\ x^{2n}) \end{aligned}\)
解釋：
第一行為套泰勒公式且不寫\(\sum\)
第二行，我們知道\(f-f_0\equiv 0(\ mod\ x^n)\)，則有\((f-f_0)^2\equiv 0(\ mod\ x^{2n})\)，所以從第三項起都同余\(0\)
繼續寫完
兩邊同時除以\(g'(f_0)\)，再移項，可得
\(f\equiv f_{0}-\dfrac {g\left( f_{0}\right) }{g'\left( f_{0}\right) }\left(\ mod\ x^{2n}\right)\)
如有哪里講得不是很明白或是有錯誤，歡迎指正
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