1、為什么要學泰勒公式？
泰勒公式剛碰到時，總覺得一頭霧水，一大串數字，把一個簡簡單單的初等函數描述出來，這樣豈不是很復雜？在進一步理解泰勒公式之后，我覺得泰勒公式還是非常有用的，單單就我個人認為，當然涉及到其它許多領域也有它的身影，只不過就筆者一個備考的人來說，目前只認識到他在數學方面上的意義而已。
比如我們通常認識的sinx,e^x,cosx,tanx。這些初等函數似乎很簡單，但是不要忘了，我們從初中以來，只會計算它的一些特殊角的值，比如30,0,60度這些特殊角，后來進一步學了更深層次的sin2x,cos2x,使我們可以計算15,105度諸如此類的特殊角，相比初中時期的我們來說，我們有所進步，但是對於角度為2,3,4這些等等的更具一般意義的角度我們就熟手無策了！
這個時候泰勒公式就出現了，泰勒公式的思想就在於：用多項式去擬合一個函數圖像（說白了就是拿這些多項式去近似代表一個函數），就拿e^x,sinx這些來說，可以通過一些簡簡單單的，帶有不同系數的冪函數進行累加表示。
2、泰勒公式
（1）泰勒公式：
（相應的，X0=0時，稱為麥克勞林公式）
麥克勞林公式：
就像上面的這個式子所示，它只涉及到了簡單的冪函數的加和運算，就把一些抽象的初等函數，諸如sinx,cosx,e^x，轉化為泰勒公式的形式（冪函數求和），這在電腦編程也化抽象為具體，容易實現。
這里給出泰勒公式的各項系數的推導：
此處的C就是系數，我們通過推導，可以知道，泰勒公式的每個系數都與原函數的導數有關，即我們的多項式的各階導數都與原函數相同，這樣我們擬合的函數就可以近似代表原函數了。
（2）對應的例子：
下面均用麥克勞林公式舉例，因為麥克勞林公式，是X0=0，即泰勒公式的特殊形式。特殊形式更容易理解，理解完特殊形式，再思考一般形式就比較好理解了。
先來說一下，冪函數的和（即多項式求和）為什么可以去表示任何一個函數。
《1》先看兩幅圖：
上面兩幅圖，實際上說明了，所有冪函數都只有兩種形式，一種是關於y對稱，另一種是關於原點對稱。
《2》繼續看兩幅圖
這里可以看出，比較高次的冪函數，總體上遠遠超過低次函數的變化程度。當兩個系數一致，次數不同的冪函數相加時，低次函數總會被壓制。
這里可以看出，通過改變系數，不同次數的冪函數圖像會先呈現低次冪函數的特性，再隨着X變量增大，呈現高次冪函數的特性。
拿e^x通過麥克勞林（在0處展開的泰勒公式）展開看看:
可以看到展開的項越多，越精確。
再看看sinx
隨着項數的增加也是越來越靠近。
總結：
（1）上面的圖像都是麥克勞林公式展開的情況。也就是泰勒公式在0處展開。一般的，我們可以在任意位置張開，即f(X),X取任意值，得到一般的泰勒公式。
（2）泰勒公式在用於求函數值的時候，即X趨近於某個數時，擬合效果（近似效果還是挺好的），拿考研舉例，一般是用於求函數在自變量趨於某個數的值，此時使用泰勒公式求得的值就行帶入就很准確；
（3）如果泰勒公式在擬合一些比較變態的函數圖像，必須保證展開的n次項足夠大，在一定范圍內才能准確表示。
3.泰勒公式的誤差
上面說了很多泰勒公式的項，卻沒說到誤差，因為泰勒公式我們主要用來近似一個函數，所以誤差就是公式后面的 Rn(X)。
它怎么計算呢？
<1>先看看拉格朗日中值定理：
說白了就是，有一個函數f(X)在【a,b】連續，（a,b）上可導，那么把a,b連起來，直線ab的斜率k，在【a,b】區域內可以找到一個導數，使得這個導數 f'(x)=k
這個就是當我們用一個項數去近似函數的時候，誤差就為
。
類似的當擴大項數時，誤差為：
再加一點。
到這里就完結了。
我真的是對比先人望塵莫及，先人可以想到這么棒的方法，我單單是理解，學着用就死了多少腦細胞了……
